Dois planos paralelos estão uniformemente carregados, com densidades superficiais de carga
e
, respectivamente. Caloule o campo elétrico em pontos acima de ambos, abaixo de ambos, e entre os dois. Represente as linhas de força entro as placas.
Passo 1
O enunciado dá duas placas planas paralelas, cada uma com densidade superficial de carga igual a
(mesmo sinal e mesmo valor). Pede para determinar o campo elétrico nos três tipos de pontos:
- pontos acima de ambas as placas (região exterior acima da placa superior);
- pontos abaixo de ambas as placas (região exterior abaixo da placa inferior);
- pontos entre as duas placas (região interna entre as superfícies).
Informações relevantes fornecidas:
- As placas são uniformemente carregadas com densidade superficial
. - As placas são paralelas. (Assume-se o caso usual de placas muito grandes / planos infinitos para aplicar o campo uniforme de uma folha infinita.)
- Não foi dado sinal explícito de
; a resolução assumirá primeiro (placas positivas) e depois indicará como fica para .
Passo 2
Lembrando um resultado básico (que vamos deduzir): o campo de uma folha infinita uniformemente carregada tem magnitude
e é perpendicular à folha, apontando para fora se
(isto é, afastando-se da superfície). Vou deduzir isso rapidamente por Lei de Gauss para deixar tudo claro.
Escolha uma folha infinita no plano
. Considere uma caixa cilíndrica (pílula) de área da base
com suas bases paralelas à folha, atravessando a folha (metade da caixa acima, metade abaixo). Pela simetria, o campo tem apenas componente normal
constante nas bases da pílula e é nulo nas faces laterais (pois lá o vetor campo é paralelo à superfície lateral e o fluxo lateral se anula no limite de superfície infinita). Pela Lei de Gauss:
O fluxo é
pela face superior mais
pela face inferior (mesma magnitude, direções opostas se
negativo — aqui contamos magnitudes com o sinal adequado), então o total do fluxo em módulo é
. A carga interna é
. Portanto
Aqui
é a magnitude; a direção é perpendicular à folha e, para
, aponta para fora da folha (isto é, para
acima da folha e para
abaixo da folha). Se
, o sentido inverte.
Passo 3
Agora aplicamos superposição para duas folhas paralelas. Para organizar, coloque as placas horizontais em
(placa superior) e
(placa inferior). Ambas têm densidade
. Denote
o versor para cima. Pelo resultado do passo anterior, cada folha produz, em qualquer ponto, um campo de magnitude
perpendicular à folha e apontando para fora da folha se
.
Identificar as contribuições em cada região (assumindo
):
- Região acima de ambas (
): - Campo da placa superior em
: a placa superior gera um campo para fora, isto é, para cima com magnitude . - Campo da placa inferior em
: para pontos acima da placa inferior, a placa inferior também gera campo para cima com magnitude . - Os dois campos somam (mesma direção), então o campo total é a soma das magnitudes.
- Campo da placa superior em
Passo 4
Cálculo explícito para a região acima (
):
Portanto, para
o campo acima aponta para cima com magnitude
.
Passo 5
Agora a região entre as placas (
):
- Campo da placa superior em pontos entre (isto é, abaixo da placa superior): a placa superior, sendo positiva, produz campo apontando para baixo
com magnitude . - Campo da placa inferior em pontos entre (isto é, acima da placa inferior): a placa inferior produz campo apontando para cima
com mesma magnitude .
Essas duas contribuições têm mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se cancelam.
Cálculo:
Passo 6
Região abaixo de ambas (
):
- Campo da placa superior em
: para pontos abaixo da placa superior, campo da superior aponta para baixo com magnitude . - Campo da placa inferior em
: para pontos abaixo da placa inferior, campo da inferior também aponta para baixo com magnitude .
Somando,
Ou seja, para
o campo abaixo aponta para baixo com magnitude
.
Passo 7
Observações finais e caso
:
- Todo o raciocínio acima foi feito assumindo
. Se , basta inverter todos os sentidos dos vetores (o módulo dos campos mantém as mesmas expressões em valor absoluto, mas com sinal/ direção invertida). - Em resumo, a magnitude do campo fora das placas (acima e abaixo) é
e entre as placas o campo é nulo quando as duas placas têm a mesma densidade (mesmo sinal e mesmo valor).
Passo 8
Como representar as linhas de força (desenho mental e interpretação):
- Para
(placas positivas): as linhas de força saem perpendicularmente de cada placa. Fora das placas (acima da superior e abaixo da inferior) as linhas saem das superfícies e vão para o infinito, com densidade de linhas proporcional a . Entre as placas, as linhas produzidas por cada placa têm sentidos opostos (uma aponta para cima, a outra para baixo) e o campo resultante é zero; portanto, no desenho de linhas de campo resultantes, não há linhas diretas que indiquem campo líquido entre as placas (o campo resultante é nulo). - Para
(placas negativas): as linhas de força apontam para as placas (entrando), e de novo o campo entre elas é nulo e fora delas a intensidade é apontando para as placas.
Dica prática para fazer o desenho na prova: desenhe as duas placas horizontalmente; fora delas, desenhe setas perpendiculares com comprimento proporcional a
(duplas se quiser mostrar contribuição de cada placa). No espaço entre as placas, mostre as setas geradas por cada placa em sentidos opostos (elas se anulam), e portanto marque o campo resultante como zero.