Dois planos paralelos estão uniformemente carregados, com densidades superficiais de carga \sigma e \sigma, respectivamente. Caloule o campo elétrico em pontos acima de ambos, abaixo de ambos, e entre os dois. Represente as linhas de força entro as placas.

Passo 1

O enunciado dá duas placas planas paralelas, cada uma com densidade superficial de carga igual a \sigma (mesmo sinal e mesmo valor). Pede para determinar o campo elétrico nos três tipos de pontos:
  • pontos acima de ambas as placas (região exterior acima da placa superior);
  • pontos abaixo de ambas as placas (região exterior abaixo da placa inferior);
  • pontos entre as duas placas (região interna entre as superfícies).
Informações relevantes fornecidas:
  • As placas são uniformemente carregadas com densidade superficial \sigma.
  • As placas são paralelas. (Assume-se o caso usual de placas muito grandes / planos infinitos para aplicar o campo uniforme de uma folha infinita.)
  • Não foi dado sinal explícito de \sigma; a resolução assumirá primeiro \sigma>0 (placas positivas) e depois indicará como fica para \sigma<0.

Passo 2

Lembrando um resultado básico (que vamos deduzir): o campo de uma folha infinita uniformemente carregada tem magnitude \dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} e é perpendicular à folha, apontando para fora se \sigma>0 (isto é, afastando-se da superfície). Vou deduzir isso rapidamente por Lei de Gauss para deixar tudo claro.
Escolha uma folha infinita no plano z=0. Considere uma caixa cilíndrica (pílula) de área da base A com suas bases paralelas à folha, atravessando a folha (metade da caixa acima, metade abaixo). Pela simetria, o campo tem apenas componente normal E_z constante nas bases da pílula e é nulo nas faces laterais (pois lá o vetor campo é paralelo à superfície lateral e o fluxo lateral se anula no limite de superfície infinita). Pela Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
O fluxo é E\cdot A pela face superior mais E\cdot A pela face inferior (mesma magnitude, direções opostas se \sigma negativo — aqui contamos magnitudes com o sinal adequado), então o total do fluxo em módulo é 2E A. A carga interna é Q_{\text{int}}=\sigma A. Portanto
2E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Aqui E é a magnitude; a direção é perpendicular à folha e, para \sigma>0, aponta para fora da folha (isto é, para +z acima da folha e para -z abaixo da folha). Se \sigma<0, o sentido inverte.

Passo 3

Agora aplicamos superposição para duas folhas paralelas. Para organizar, coloque as placas horizontais em z=+a (placa superior) e z=-a (placa inferior). Ambas têm densidade \sigma. Denote \hat{z} o versor para cima. Pelo resultado do passo anterior, cada folha produz, em qualquer ponto, um campo de magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} perpendicular à folha e apontando para fora da folha se \sigma>0.
Identificar as contribuições em cada região (assumindo \sigma>0):
  • Região acima de ambas ( z>+a):
    • Campo da placa superior em z>+a: a placa superior gera um campo para fora, isto é, para cima (+\hat{z}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
    • Campo da placa inferior em z>+a: para pontos acima da placa inferior, a placa inferior também gera campo para cima (+\hat{z}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
    • Os dois campos somam (mesma direção), então o campo total é a soma das magnitudes.

Passo 4

Cálculo explícito para a região acima ( z>+a):
\mathbf{E}_{\text{acima}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{z} \;+\; \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{z} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{z}.
Portanto, para \sigma>0 o campo acima aponta para cima com magnitude \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Passo 5

Agora a região entre as placas ( -a<z<+a):
  • Campo da placa superior em pontos entre (isto é, abaixo da placa superior): a placa superior, sendo positiva, produz campo apontando para baixo (-\hat{z}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo da placa inferior em pontos entre (isto é, acima da placa inferior): a placa inferior produz campo apontando para cima (+\hat{z}) com mesma magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
    Essas duas contribuições têm mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se cancelam.
Cálculo:
\mathbf{E}_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,(-\hat{z}) \;+\; \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,(\hat{z}) = \mathbf{0}.

Passo 6

Região abaixo de ambas ( z<-a):
  • Campo da placa superior em z<-a: para pontos abaixo da placa superior, campo da superior aponta para baixo (-\hat{z}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo da placa inferior em z<-a: para pontos abaixo da placa inferior, campo da inferior também aponta para baixo (-\hat{z}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
    Somando,
\mathbf{E}_{\text{abaixo}} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{z} \;-\; \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{z} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{z}.
Ou seja, para \sigma>0 o campo abaixo aponta para baixo com magnitude \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Passo 7

Observações finais e caso \sigma<0:
  • Todo o raciocínio acima foi feito assumindo \sigma>0. Se \sigma<0, basta inverter todos os sentidos dos vetores (o módulo dos campos mantém as mesmas expressões em valor absoluto, mas com sinal/ direção invertida).
  • Em resumo, a magnitude do campo fora das placas (acima e abaixo) é \dfrac{|\sigma|}{\varepsilon_0} e entre as placas o campo é nulo quando as duas placas têm a mesma densidade \sigma (mesmo sinal e mesmo valor).

Passo 8

Como representar as linhas de força (desenho mental e interpretação):
  • Para \sigma>0 (placas positivas): as linhas de força saem perpendicularmente de cada placa. Fora das placas (acima da superior e abaixo da inferior) as linhas saem das superfícies e vão para o infinito, com densidade de linhas proporcional a \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}. Entre as placas, as linhas produzidas por cada placa têm sentidos opostos (uma aponta para cima, a outra para baixo) e o campo resultante é zero; portanto, no desenho de linhas de campo resultantes, não há linhas diretas que indiquem campo líquido entre as placas (o campo resultante é nulo).
  • Para \sigma<0 (placas negativas): as linhas de força apontam para as placas (entrando), e de novo o campo entre elas é nulo e fora delas a intensidade é \dfrac{|\sigma|}{\varepsilon_0} apontando para as placas.
Dica prática para fazer o desenho na prova: desenhe as duas placas horizontalmente; fora delas, desenhe setas perpendiculares com comprimento proporcional a \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} (duplas se quiser mostrar contribuição de cada placa). No espaço entre as placas, mostre as setas geradas por cada placa em sentidos opostos (elas se anulam), e portanto marque o campo resultante como zero.

Resposta

\mathbf{E}_{\text{acima}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{z}\n
\mathbf{E}_{\text{entre}}=\mathbf{0}\n
\mathbf{E}_{\text{abaixo}}=-\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{z}

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