Um potencial elétrico de uma determinada distribuição de cargas é dado por
\varphi(x, y, z)=\frac{k Q}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}
Determine as componentes E_{x}, E_{y} e E_{z} do vetor campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá o potencial escalar
\varphi(x,y,z)=\frac{k Q}{\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}}
e pede para determinar as componentes E_{x}, E_{y} e E_{z} do campo elétrico. Informações relevantes fornecidas:
  • k, Q e a são constantes.
  • As variáveis espaciais são x, y e z.
  • O objetivo é achar explicitamente E_{x}, E_{y} e E_{z}.

Passo 2

Relação entre potencial e campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Isso significa, componente a componente,
E_{x}=-\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad E_{y}=-\frac{\partial\varphi}{\partial y},\qquad E_{z}=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Explicando rápido: o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais do escalar \varphi; o sinal negativo indica que o campo aponta na direção de maior decrescimento do potencial.

Passo 3

Para simplificar a notação, defina
R=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Assim \varphi(x,y,z)=kQ\,R^{-1}. Vamos calcular \partial\varphi/\partial x usando a regra da cadeia. Primeiro a derivada de R^{-1} em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}\big(R^{-1}\big)=-R^{-2}\frac{\partial R}{\partial x}.
Agora calcule \partial R/\partial x. Como R=( (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, pela regra da cadeia,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{1}{2}\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{-1/2}\cdot 2(x-a)=\frac{x-a}{R}.

Passo 4

Substituindo na expressão para \partial\varphi/\partial x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=kQ\left(-R^{-2}\right)\left(\frac{x-a}{R}\right)=-kQ\frac{x-a}{R^{3}}.
Portanto, usando E_{x}=-\partial\varphi/\partial x,
E_{x}=kQ\frac{x-a}{R^{3}}.

Passo 5

Calcule \partial\varphi/\partial y de forma análoga. A derivada \partial R/\partial y é
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{y}{R}.
Logo
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=kQ\left(-R^{-2}\right)\left(\frac{y}{R}\right)=-kQ\frac{y}{R^{3}},
e portanto
E_{y}=kQ\frac{y}{R^{3}}.

Passo 6

Para a componente z o procedimento é igual. Tem-se
\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{z}{R},
então
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=-kQ\frac{z}{R^{3}},
e
E_{z}=kQ\frac{z}{R^{3}}.

Passo 7

Juntando tudo e voltando à notação explícita em função de x,y,z,
R=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}},
e as componentes do campo elétrico são
E_{x}=kQ\frac{x-a}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}},\qquad E_{y}=kQ\frac{y}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}},\qquad E_{z}=kQ\frac{z}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
Em forma vetorial compacta:
\mathbf{E}=kQ\,\frac{(x-a)\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
Observação prática: o denominador fica nulo no ponto (x,y,z)=(a,0,0), que é a posição da carga; ali o campo diverge, como esperado para uma carga pontual.

Resposta

E_{x}=kQ\displaystyle\frac{x-a}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}
E_{y}=kQ\displaystyle\frac{y}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}
E_{z}=kQ\displaystyle\frac{z}{\big((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}

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