Um potencial elétrico de uma determinada distribuição de cargas é dado por
Determine as componentes
e
do vetor campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá o potencial escalar
e pede para determinar as componentes
,
e
do campo elétrico. Informações relevantes fornecidas:
-
, e são constantes. - As variáveis espaciais são
, e . - O objetivo é achar explicitamente
, e .
Passo 2
Relação entre potencial e campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Isso significa, componente a componente,
Explicando rápido: o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais do escalar
; o sinal negativo indica que o campo aponta na direção de maior decrescimento do potencial.
Passo 3
Para simplificar a notação, defina
Assim
. Vamos calcular
usando a regra da cadeia. Primeiro a derivada de
em relação a
é
Agora calcule
. Como
, pela regra da cadeia,
Passo 4
Substituindo na expressão para
:
Portanto, usando
,
Passo 5
Calcule
de forma análoga. A derivada
é
Logo
e portanto
Passo 6
Para a componente
o procedimento é igual. Tem-se
então
e
Passo 7
Juntando tudo e voltando à notação explícita em função de
,
e as componentes do campo elétrico são
Em forma vetorial compacta:
Observação prática: o denominador fica nulo no ponto
, que é a posição da carga; ali o campo diverge, como esperado para uma carga pontual.