Uma esfera maciça de material isolante, com raio R, possuì uma carga total +Q distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. Utilizando a Lei de Gauss e considerando a permissividade elétrica do vácuo como \epsilon_{0}, responda aos itens a seguir.
(1,2)
a) Obtenha a expressão do vetor campo elétrico \mathbf{E} para qualquer ponto dentro da esfera (r<R) e fora da esfera (r>R).
b) Construa o gráfico do campo elétríco \mathbf{E} em função de r (use o valor de r para 3 pontos, r tendendo a zero, r=R e r=3 R )

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça de raio R com carga total +Q uniformemente distribuída por todo o volume. A permissividade do vácuo é \epsilon_{0}.
O que se pede:
  • (a) Obter a expressão do vetor campo elétrico \mathbf{E} para qualquer ponto dentro da esfera (r<R) e fora da esfera (r>R).
  • (b) Construir o gráfico de \mathbf{E} em função de r e avaliar o campo para três casos: r tendendo a zero, r=R e r=3R.
Informações relevantes dadas:
  • Raio da esfera: R.
  • Carga total da esfera: Q>0 (distribuição volumétrica uniforme).
  • Permissividade do vácuo: \epsilon_{0}.

Passo 2

Vou usar a Lei de Gauss (explicada abaixo) e a simetria esférica do problema. Primeiro explico a ferramenta que vamos usar.
A Lei de Gauss (forma integral) diz:
\oint_{\mathcal S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}},
onde:
  • \mathcal S é uma superfície fechada arbitrária,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial apontando para fora,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal S,
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo,
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
Motivo da escolha: pela simetria esférica da distribuição de carga, para uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera carregada, o campo elétrico tem direção radial e módulo constante sobre essa superfície. Então podemos tirar E fora da integral.
Seja uma superfície gaussiana esfera de raio r centrada na mesma posição da esfera carregada. Pelo argumento de simetria:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r},
onde \hat{\mathbf r} é o versor radial (apontando para fora). O fluxo através da superfície gaussiana é então
\oint_{\mathcal S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Agora precisamos do termo Q_{\text{int}}, que depende se r<R (envolve só parte da carga) ou r>R (envolve toda a carga).

Passo 3

Cálculo do campo para r<R (ponto dentro da esfera).
Como a carga está uniformemente distribuída por volume, a densidade volumétrica de carga \rho é:
\rho=\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Explicando: \tfrac{4}{3}\pi R^{3} é o volume total da esfera; dividir Q por esse volume dá a carga por unidade de volume.
A carga contida dentro da esfera de raio r<R (a superfície gaussiana) é o volume contido vezes \rho:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} =\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} =Q\cdot \dfrac{r^{3}}{R^{3}}.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}} =\dfrac{Q}{\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r^{3}}{R^{3}}.
Isolando E(r):
E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r}{R^{3}}.
Como vetor (direção radial para fora, pois Q>0):
\mathbf{E}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r}{R^{3}}\,\hat{\mathbf r},\qquad r<R.
Observação didática: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r porque, ao aumentar r, aumenta o volume (e portanto a carga interna) mais rapidamente do que a área da superfície gaussiana, resultando em E\propto r.

Passo 4

Cálculo do campo para r>R (ponto fora da esfera).
Se a superfície gaussiana tem raio r>R, então ela envolve toda a carga da esfera, logo
Q_{\text{int}}=Q.
Aplicando Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q}{\epsilon_{0}}.
Isolando E(r):
E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{1}{r^{2}}.
Como vetor:
\mathbf{E}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r},\qquad r>R.
Comentário físico: para fora da esfera o campo é exatamente o mesmo de uma carga pontual Q localizada no centro — decai como 1/r^{2}.

Passo 5

Verificação de continuidade em r=R e comportamento em r\to 0.
Avaliação em r=R pelas duas fórmulas:
  • Fórmula interna em r=R:
\mathbf{E}(R)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{R}{R^{3}}\,\hat{\mathbf r} =\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
  • Fórmula externa em r=R:
\mathbf{E}(R)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
As duas coincidem, então o campo \mathbf{E} é contínuo na superfície r=R.
Comportamento quando r\to 0: usando a expressão interna
\mathbf{E}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r}{R^{3}}\,\hat{\mathbf r}\quad\Rightarrow\quad \lim_{r\to 0}\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.
Ou seja, o campo tende a zero no centro da esfera.

Passo 6

Cálculo numérico simbólico (valores relativos) nos pontos pedidos para construir o gráfico.
Defino o campo na superfície como referência:
E_{0}\equiv \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}.
  • Para r\to 0:
\mathbf{E}\to\mathbf{0}.
  • Para r=R:
\mathbf{E}(R)=E_{0}\,\hat{\mathbf r}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
  • Para r=3R (usar a fórmula externa):
\mathbf{E}(3R)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}(3R)^{2}}\,\hat{\mathbf r} =\dfrac{Q}{36\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r} =\dfrac{1}{9}E_{0}\,\hat{\mathbf r}.

Passo 7

Como desenhar o gráfico de |\mathbf{E}| versus r (dica prática para a prova):
  • Eixo horizontal: r (de 0 para valores maiores que R).
  • Eixo vertical: módulo do campo |\mathbf{E}| (não negativo).
  • Para 0\le r\le R: traçar uma reta que parte de |\mathbf{E}|=0 em r=0 e cresce linearmente até |\mathbf{E}|=E_{0} em r=R. A inclinação é E_{0}/R porque |\mathbf{E}(r)|=(Q/4\pi\epsilon_{0}R^{3})\,r=E_{0}\,(r/R).
  • Para r\ge R: traçar uma curva decrescente proporcional a 1/r^{2}, que passa por r=R com valor E_{0}, e em r=3R vale E_{0}/9.
  • Observação: o gráfico é contínuo em r=R (valor igual E_{0}), mas a derivada não é contínua ali (a inclinação muda de constante para um comportamento curvo).
Dica rápida: marque os pontos (0,0), (R,E_{0}), (3R,E_{0}/9) e depois finalize a reta interna e a curva externa.

Resposta

(a) \mathbf{E}(r)=\begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r}{R^{3}}\,\hat{\mathbf r}, & r<R,\\[8pt] \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}, & r>R. \end{cases}
(b) \displaystyle \lim_{r\to 0}\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.
\displaystyle \mathbf{E}(R)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
\displaystyle \mathbf{E}(3R)=\dfrac{Q}{36\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}=\dfrac{1}{9}\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\,\hat{\mathbf r}.]

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