Uma esfera maciça de material isolante, com raio R, possuì uma carga total +Q distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. Utilizando a Lei de Gauss e considerando a permissividade elétrica do vácuo como \epsilon_{0}, responda aos itens a seguir. (1,2)
a) Obtenha a expressão do vetor campo elétrico \mathbf{E} para qualquer ponto dentro da esfera (r<R) e fora da esfera (r>R).
b) Construa o gráfico do campo elétríco \mathbf{E} em função de r (use o valor de r para 3 pontos, r tendendo a zero, r=R e r=3 R )
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça de raio R com carga total +Q uniformemente distribuída por todo o volume. A permissividade do vácuo é \epsilon_{0}.
O que se pede:
(a) Obter a expressão do vetor campo elétrico \mathbf{E} para qualquer ponto dentro da esfera (r<R) e fora da esfera (r>R).
(b) Construir o gráfico de \mathbf{E} em função de r e avaliar o campo para três casos: r tendendo a zero, r=R e r=3R.
Informações relevantes dadas:
Raio da esfera: R.
Carga total da esfera: Q>0 (distribuição volumétrica uniforme).
Permissividade do vácuo: \epsilon_{0}.
Passo 2
Vou usar a Lei de Gauss (explicada abaixo) e a simetria esférica do problema. Primeiro explico a ferramenta que vamos usar.
d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial apontando para fora,
Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal S,
\epsilon_{0} é a permissividade do vácuo,
\mathbf{E} é o campo elétrico.
Motivo da escolha: pela simetria esférica da distribuição de carga, para uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera carregada, o campo elétrico tem direção radial e módulo constante sobre essa superfície. Então podemos tirar E fora da integral.
Seja uma superfície gaussiana esfera de raio r centrada na mesma posição da esfera carregada. Pelo argumento de simetria:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r},
onde \hat{\mathbf r} é o versor radial (apontando para fora). O fluxo através da superfície gaussiana é então
Observação didática: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r porque, ao aumentar r, aumenta o volume (e portanto a carga interna) mais rapidamente do que a área da superfície gaussiana, resultando em E\propto r.
Passo 4
Cálculo do campo para r>R (ponto fora da esfera).
Se a superfície gaussiana tem raio r>R, então ela envolve toda a carga da esfera, logo
Como desenhar o gráfico de |\mathbf{E}| versus r (dica prática para a prova):
Eixo horizontal: r (de 0 para valores maiores que R).
Eixo vertical: módulo do campo |\mathbf{E}| (não negativo).
Para 0\le r\le R: traçar uma reta que parte de |\mathbf{E}|=0 em r=0 e cresce linearmente até |\mathbf{E}|=E_{0} em r=R. A inclinação é E_{0}/R porque |\mathbf{E}(r)|=(Q/4\pi\epsilon_{0}R^{3})\,r=E_{0}\,(r/R).
Para r\ge R: traçar uma curva decrescente proporcional a 1/r^{2}, que passa por r=R com valor E_{0}, e em r=3R vale E_{0}/9.
Observação: o gráfico é contínuo em r=R (valor igual E_{0}), mas a derivada não é contínua ali (a inclinação muda de constante para um comportamento curvo).
Dica rápida: marque os pontos (0,0), (R,E_{0}), (3R,E_{0}/9) e depois finalize a reta interna e a curva externa.