- Em dois pontos definidos pelos vetores
e
se encontram cargas positivas
e
, respectivamente. Determine o vetor posição
de uma carga
para que a força resultante em cada carga seja igual a zero.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados:
- Há duas cargas positivas localizadas em dois pontos dados pelos vetores posição
e . -
. -
. - Existe uma terceira carga
localizada em (posição a determinar).
- Há duas cargas positivas localizadas em dois pontos dados pelos vetores posição
- Pedido:
- Determinar o vetor posição
de modo que a força resultante sobre cada carga (isto é, sobre , sobre e sobre ) seja igual a zero.
- Determinar o vetor posição
- Observação importante: o enunciado apresenta alternativas de resposta em forma de combinações lineares de
e ; portanto espera-se uma posição ao longo da reta que liga a .
Passo 2
Lembrete da lei de Coulomb (fórmula que vamos usar) e interpretação vetorial.
- A força elétrica que a carga
exerce sobre é dada por
onde:
-
é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui porque irá se cancelar), -
e são os vetores posição das cargas e , -
é o vetor que vai de a . - A condição "força resultante igual a zero sobre
" é
- Como as forças entre pares de cargas atuam ao longo da reta que une as cargas, se quisermos que duas forças se anulem elas devem ser colineares e de sentidos opostos. Isso sugere que
precisa estar sobre a reta que une e .
Passo 3
Argumento de colinearidade e parametrização de
.
- Para que a força resultante em
seja zero, as contribuições de e de sobre devem ser vetorialmente opostas — logo e são colineares. O mesmo raciocínio vale para . Portanto está na reta que liga e . - Parametrizamos
como um ponto entre e :
onde
é um número real entre
e
se
ficar entre
e
.
Passo 4
Colocar o problema em coordenadas escalares ao longo da reta e escrever as condições de equilíbrio para
e
.
- Seja
a distância entre e . - A distância de
a é . - A distância de
a é . - Considere as magnitudes das forças (direções tratadas separadamente). Para
estar em equilíbrio, a força repulsiva de sobre deve ser compensada pela força de sobre . Em módulo:
Dividindo por
e cancelando
:
- Para
estar em equilíbrio, a força repulsiva de sobre deve ser compensada pela força de sobre . Em módulo:
Dividindo por
e cancelando
:
Passo 5
Igualar as duas expressões para
e resolver para
.
- Igualando as expressões obtidas:
- Tirando raiz quadrada (tomando as raízes positivas para comprimentos):
- Reorganizando:
- Logo
Passo 6
Aplicar os valores numéricos de
e
e obter
.
- Com
e temos e . - Portanto
- Substituindo na parametrização de
:
Passo 7
Comentários finais úteis (checagem e observações físicas).
- A posição encontrada corresponde a um ponto entre
e mais próximo de , o que faz sentido porque . - Para que as direções das forças permitam o equilíbrio,
precisa ser de sinal oposto a e ; a partir das fórmulas acima pode-se também calcular o módulo de :
logo
(não solicitado, mas serve de checagem interna).
- A alternativa que coincide com
é a alternativa (b).