1. Em dois pontos definidos pelos vetores \overrightarrow{\mathrm{r}}_{1} e \overrightarrow{\mathrm{r}}_{2} se encontram cargas positivas \mathrm{q}_{1}=4 \mu \mathrm{C} e \mathrm{q}_{2}=9 \mu \mathrm{C}, respectivamente. Determine o vetor posição \overrightarrow{\mathrm{r}}_{3} de uma carga \mathrm{q}_{3} para que a força resultante em cada carga seja igual a zero.
    a) \frac{2 \vec{r}_{1}+3 \vec{r}_{2}}{5}
    b) \frac{3 \vec{r}_{1}+2 \vec{r}_{2}}{5}
    c) \frac{5 \vec{r}_{1}-3 \vec{r}_{2}}{2}
    d) \frac{3 \vec{r}_{1}-2 \vec{r}_{2}}{5}
    e) \frac{5 \overrightarrow{\mathrm{r}}_{1}+3 \overrightarrow{\mathrm{r}}_{2}}{8}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • Há duas cargas positivas localizadas em dois pontos dados pelos vetores posição \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.
    • \displaystyle q_{1}=4\,\mu\mathrm{C}.
    • \displaystyle q_{2}=9\,\mu\mathrm{C}.
    • Existe uma terceira carga q_{3} localizada em \vec{r}_{3} (posição a determinar).
  • Pedido:
    • Determinar o vetor posição \vec{r}_{3} de modo que a força resultante sobre cada carga (isto é, sobre q_{1}, sobre q_{2} e sobre q_{3}) seja igual a zero.
  • Observação importante: o enunciado apresenta alternativas de resposta em forma de combinações lineares de \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}; portanto espera-se uma posição \vec{r}_{3} ao longo da reta que liga \vec{r}_{1} a \vec{r}_{2}.

Passo 2

Lembrete da lei de Coulomb (fórmula que vamos usar) e interpretação vetorial.
  • A força elétrica que a carga q_j exerce sobre q_i é dada por
\vec{F}_{ij}=k\; \dfrac{q_i q_j}{\lvert \vec{r}_j-\vec{r}_i\rvert^{3}}\;(\vec{r}_j-\vec{r}_i),
onde:
  • k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui porque irá se cancelar),
  • \vec{r}_i e \vec{r}_j são os vetores posição das cargas q_i e q_j,
  • \vec{r}_j-\vec{r}_i é o vetor que vai de q_i a q_j.
  • A condição "força resultante igual a zero sobre q_i" é
\sum_{j\ne i}\vec{F}_{ij}=\vec{0}.
  • Como as forças entre pares de cargas atuam ao longo da reta que une as cargas, se quisermos que duas forças se anulem elas devem ser colineares e de sentidos opostos. Isso sugere que \vec{r}_{3} precisa estar sobre a reta que une \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.

Passo 3

Argumento de colinearidade e parametrização de \vec{r}_{3}.
  • Para que a força resultante em q_1 seja zero, as contribuições de q_2 e de q_3 sobre q_1 devem ser vetorialmente opostas — logo \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} e \vec{r}_{3}-\vec{r}_{1} são colineares. O mesmo raciocínio vale para q_2. Portanto \vec{r}_{3} está na reta que liga \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.
  • Parametrizamos \vec{r}_{3} como um ponto entre \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}:
\vec{r}_{3}=\vec{r}_{1}+\lambda(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1})=(1-\lambda)\,\vec{r}_{1}+\lambda\,\vec{r}_{2},
onde \lambda é um número real entre 0 e 1 se \vec{r}_{3} ficar entre \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.

Passo 4

Colocar o problema em coordenadas escalares ao longo da reta e escrever as condições de equilíbrio para q_1 e q_2.
  • Seja L=\lvert \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\rvert a distância entre q_{1} e q_{2}.
  • A distância de q_{1} a q_{3} é \lvert \vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}\rvert=\lambda L.
  • A distância de q_{2} a q_{3} é \lvert \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}\rvert=(1-\lambda)L.
  • Considere as magnitudes das forças (direções tratadas separadamente). Para q_{1} estar em equilíbrio, a força repulsiva de q_{2} sobre q_{1} deve ser compensada pela força de q_{3} sobre q_{1}. Em módulo:
k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{L^{2}}=k\,\dfrac{q_{1}\,\lvert q_{3}\rvert}{(\lambda L)^{2}}.
Dividindo por k q_{1} e cancelando L^{2}:
q_{2}=\dfrac{\lvert q_{3}\rvert}{\lambda^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \lvert q_{3}\rvert = q_{2}\,\lambda^{2}.
  • Para q_{2} estar em equilíbrio, a força repulsiva de q_{1} sobre q_{2} deve ser compensada pela força de q_{3} sobre q_{2}. Em módulo:
k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{L^{2}}=k\,\dfrac{q_{2}\,\lvert q_{3}\rvert}{\big((1-\lambda)L\big)^{2}}.
Dividindo por k q_{2} e cancelando L^{2}:
q_{1}=\dfrac{\lvert q_{3}\rvert}{(1-\lambda)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \lvert q_{3}\rvert = q_{1}\,(1-\lambda)^{2}.

Passo 5

Igualar as duas expressões para \lvert q_{3}\rvert e resolver para \lambda.
  • Igualando as expressões obtidas:
q_{2}\,\lambda^{2}=q_{1}\,(1-\lambda)^{2}.
  • Tirando raiz quadrada (tomando as raízes positivas para comprimentos):
\sqrt{q_{2}}\,\lambda=\sqrt{q_{1}}\,(1-\lambda).
  • Reorganizando:
\lambda\big(\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}\big)=\sqrt{q_{1}}.
  • Logo
\lambda=\dfrac{\sqrt{q_{1}}}{\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}}.

Passo 6

Aplicar os valores numéricos de q_{1} e q_{2} e obter \vec{r}_{3}.
  • Com \displaystyle q_{1}=4\,\mu\mathrm{C} e \displaystyle q_{2}=9\,\mu\mathrm{C} temos \sqrt{q_{1}}=2 e \sqrt{q_{2}}=3.
  • Portanto
\lambda=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.
  • Substituindo na parametrização de \vec{r}_{3}:
\vec{r}_{3}=(1-\lambda)\,\vec{r}_{1}+\lambda\,\vec{r}_{2}=\dfrac{3}{5}\,\vec{r}_{1}+\dfrac{2}{5}\,\vec{r}_{2}.

Passo 7

Comentários finais úteis (checagem e observações físicas).
  • A posição encontrada corresponde a um ponto entre \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2} mais próximo de \vec{r}_{1}, o que faz sentido porque q_{1}<q_{2}.
  • Para que as direções das forças permitam o equilíbrio, q_{3} precisa ser de sinal oposto a q_{1} e q_{2}; a partir das fórmulas acima pode-se também calcular o módulo de q_{3}:
\lvert q_{3}\rvert = q_{2}\lambda^{2}=9\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{36}{25}\,\mu\mathrm{C}=1{,}44\,\mu\mathrm{C},
logo q_{3}=-1{,}44\,\mu\mathrm{C} (não solicitado, mas serve de checagem interna).
  • A alternativa que coincide com \vec{r}_{3}=\dfrac{3}{5}\vec{r}_{1}+\dfrac{2}{5}\vec{r}_{2} é a alternativa (b).

Resposta

\dfrac{3\vec{r}_{1}+2\vec{r}_{2}}{5}

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