Dois portos, A e B, em uma conexão Norte-Sul, estão separados por um rio de largura D. O rio flui igual ao dobro da velocidade da água em relação às margens. Expresse seus resultados em termos de Vba e D.
Suponha que se queira cruzar o rio do porto A para a margem do outro lado do rio no menor tempo possível. Qual a direção para a qual o barco deve apontar (dê o ângulo em relação à direção Norte)?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui está o que temos:
  • Enunciado: Dois portos, $ A $ e $ B $, estão separados por um rio de largura $ D A ááéçãàá V_{ba} $). Queremos descobrir em que direção (qual ângulo em relação ao Norte) o barco deve apontar para cruzar o rio no menor tempo possível.
  • Conteúdo: Vamos usar conceitos de cinemática, mais especificamente movimento relativo e vetores de velocidade.
  • O que precisamos: Entender como a velocidade do barco em relação à água e a velocidade da corrente do rio afetam a trajetória do barco para determinar o ângulo ideal para cruzar o rio rapidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as velocidades envolvidas:
  • Velocidade do barco em relação à água ($ V_{ba} $): Essa é a velocidade com que o barco pode se mover se a água estivesse parada.
  • Velocidade da corrente do rio ($ V_r $): A corrente está movendo a água, e isso empurra o barco. Segundo o enunciado, $ V_r = 2 V_{ba} $.
Agora, para cruzar o rio no menor tempo, queremos que o barco vá diretamente de $ A $ para $ B $, ou seja, perpendicularmente às margens do rio.

Passo 3

Para que o barco vá diretamente para o outro lado, precisamos considerar as velocidades vetoriais:
  • **Velocidade resultante do barco em relação à terra ($ V_{bt} Vbt Éçãàá V_{ba} Vba V_r $).
Queremos que a componente horizontal (na direção do fluxo do rio) da velocidade resultante seja zero para que o barco não seja arrastado e chegue diretamente ao outro lado.

Passo 4

Vamos desenhar um diagrama vetorial para visualizar isso:
  • Direção Norte-Sul: Vamos supor que o rio flui de Sul para Norte.
  • Velocidade do rio ($ V_r $): Aponta para o Norte com magnitude $ 2 V_{ba} $.
  • Velocidade do barco ($ V_{ba} $): Aponta em um ângulo $ \theta $ em relação ao Norte. Precisamos encontrar $ \theta $ de forma que a componente para o Norte da velocidade do barco compense a velocidade do rio.

Passo 5

Matematicamente, queremos que:
Componente Norte do barco = Velocidade do rio
Ou seja:
Vba cdot cos(theta) = Vr
Substituindo $ V_r = 2 V_{ba} $:
Vr = 2 Vba
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ V_{ba} $:
Vba cdot cos(theta) = 2 Vba
Aqui encontramos um problema, já que $ \cos(\theta) $ não pode ser maior que 1. Isso significa que, com a corrente do rio sendo o dobro da velocidade do barco em relação à água, é impossível apontar o barco para chegar diretamente ao outro lado. O barco será sempre levado pela corrente.

Passo 6

Como não é possível chegar diretamente ao outro lado nesse cenário, o objetivo muda para minimizar o tempo de travessia. Para isso, o barco deve apontar diretamente para o outro lado, ou seja, perpendicular à corrente do rio.
Quando o barco aponta diretamente para o outro lado:
  • Velocidade perpendicular ($ V_{perp} $): $ V_{ba} \cdot \sin(\theta) = V_{ba} $ (já que $ \theta = 90^\circ $).
  • Velocidade ao longo do rio ($ V_{parallel} $): $ V_{ba} \cdot \cos(\theta) = 0 $, já que $ \theta = 90^\circ $.
Assim, o barco atravessa o rio movendo-se perpendicularmente à corrente, e a corrente o leva a montante.

Passo 7

Agora, para encontrar o menor tempo de travessia, consideramos apenas a componente perpendicular da velocidade do barco:
Tempo = DistânciaVelocidade perpendicular = DVba â
Então, o menor tempo possível para atravessar o rio é $ \frac{D}{V_{ba}} $.

Resposta

O barco deve apontar diretamente para a margem oposta, ou seja, fazer um ângulo de $ 90^\circ $ em relação à direção Norte, para cruzar o rio no menor tempo possível.

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