Dois projéteis são lançados no mesmo plano, sendo:
\begin{gathered} \mathrm{v}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{A}}=10 \hat{\mathrm{i}}+20 \hat{\mathrm{j}} \text { e } \mathrm{v}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{B}}=-5 \hat{\mathrm{i}}+30 \hat{\mathrm{j}} \\\ \mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{A}}=0 \text { e } \mathrm{r}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{B}}=50 \hat{\mathrm{i}} \end{gathered}
a) Qual o ponto comum do plano em que ambos passam? Após o primeiro passar por este ponto quantos segundos depois o outro passa? b) Qual a distância que os separa após a queda?

Passo 1

O enunciado dá dois projéteis A e B lançados no mesmo plano com velocidades iniciais e posições iniciais: \vec v_0^A=10\hat\imath+20\hat\jmath, \vec r_0^A=\vec0; \vec v_0^B=-5\hat\imath+30\hat\jmath, \vec r_0^B=50\hat\imath.
Pede-se:
a) o ponto comum que os dois percorrem e quanto tempo depois o segundo chega a esse ponto;
b) a distância que os separa após ambos aterrissarem.
Vamos usar cinemática de projéteis com g=10 m/ s^{2}.

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas das trajetórias:
para A,
\vec r^A(t)=10t\,\hat\imath+\bigl(20t-5t^2\bigr)\,\hat\jmath,
para B,
\vec r^B(t)=\bigl(50-5t\bigr)\,\hat\imath+\bigl(30t-5t^2\bigr)\,\hat\jmath.

Passo 3

No ponto comum existe (t_A,t_B) tais que \vec r^A(t_A)=\vec r^B(t_B). Igualando componentes: x-componente:
10\,t_A = 50-5\,t_B, y-componente:
20\,t_A-5\,t_A^2 = 30\,t_B-5\,t_B^2.

Passo 4

Da primeira equação vem t_B=10-2t_A. Substituindo em y-componente e simplificando obtém-se
3\,t_A^2-24\,t_A+40=0,
cuja solução física (positiva e com t_B>0) é
t_A=4-\tfrac{2\sqrt6}{3}\approx2{,}367\text{ s},\quad t_B=10-2t_A\approx5{,}267\text{ s}.

Passo 5

O ponto comum é, por exemplo, \vec r^A(t_A):
x=10\cdot2{,}367\approx23{,}67,\quad y=20\cdot2{,}367-5\cdot(2{,}367)^2\approx19{,}32.
O segundo projétil chega t_B-t_A\approx5{,}267-2{,}367=2{,}900 s depois.

Passo 6

Para a queda ao solo y=0 resolvemos em cada caso:
para A: 20t-5t^2=0 t=4 s, queda em x_A=10\cdot4=40.
para B: 30t-5t^2=0 t=6 s, queda em x_B=50-5\cdot6=20.
A separação final é |40-20|=20.

Resposta

a) O ponto comum é (23{,}67\,;\,19{,}32). O projétil B passa nesse ponto 2{,}90 s depois de A.
b) Após a queda, a distância entre eles é 20 m.

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