1^{\mathrm{a}} ) Uma fila de professores de física 4, pesando 50 kg cada um, a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, passa por uma porta de 1 m de largura. Qual o comprimento de onda desses professores? A que distância será projetado o primeiro mínimo de interferência, em uma parede a 10 m da porta? (Dado a constante de Planck, \mathrm{h}=6,6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} )

Passo 1

O enunciado fala de uma “fila” de professores, cada um de massa 50\\ \mathrm{kg} e velocidade 1\\ \mathrm{m/s}, passando por uma porta de largura 1\\ \mathrm{m}. Precisamos achar (i) o comprimento de onda de de Broglie desses “professores” e (ii) a posição do primeiro mínimo de difração numa parede a 10\\ \mathrm{m}. O conteúdo é mecânica quântica (onda de matéria) e difração em fenda simples.

Passo 2

O comprimento de onda de de Broglie vem da relação
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}
onde h = 6{,}6\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, m = 50\\ \mathrm{kg} e v = 1\\ \mathrm{m/s}. Logo,
\lambda = \frac{6{,}6\times10^{-34}}{50\times1} = 1{,}32\times10^{-35}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para difração em fenda simples, o primeiro mínimo ocorre quando
\sin\theta = \frac{\lambda}{a},
sendo a=1\\ \mathrm{m}. Como \lambda\ll a, temos
\theta \approx \sin\theta = \frac{1{,}32\times10^{-35}}{1} = 1{,}32\times10^{-35}\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

A distância y do centro ao primeiro mínimo, na parede a L=10\\ \mathrm{m}, é
y = L\tan\theta \approx L\,\theta = 10\times1{,}32\times10^{-35} = 1{,}32\times10^{-34}\\ \mathrm{m}.

Resposta

\lambda \approx 1{,}3\times10^{-35}\\ \mathrm{m} y \approx 1{,}3\times10^{-34}\\ \mathrm{m}

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