Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto no solo. O projétil A é lançado com 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 60^{\circ} com a horizontal. O projétil B é lançado com 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 45^{\circ} com a horizontal. (g=9,8 m / s). (a) Escreva as equações da posição em função do tempo para cada projétil. (b) Os projéteis irão colidir no ar? Justifique matematicamente.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
  • Dois projéteis partem simultaneamente do mesmo ponto no solo.
  • Projétil A: velocidade inicial \,v_{0A}=40\\ \mathrm{m/s} e ângulo \theta_A=60^\circ.
  • Projétil B: velocidade inicial \,v_{0B}=50\\ \mathrm{m/s} e ângulo \theta_B=45^\circ.
  • Aceleração da gravidade: \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, sempre apontando para baixo.
  • Perguntas:
    (a) Escrever as equações da posição em função do tempo para cada projétil.
    (b) Verificar se os projéteis colidem no ar (isto é, se existe t>0 tal que têm a mesma posição ao mesmo tempo). Justificar matematicamente.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas básicas (explicação didática):
  • Em movimento de projétil sem resistência do ar, separamos o movimento em duas direções independentes: horizontal (x) e vertical (y).
  • Horizontalmente não há aceleração (assumimos ausência de resistência), então a velocidade horizontal é constante: \,v_x=v_0\cos\theta.
  • Verticalmente há aceleração constante igual a -g, então a velocidade vertical varia com o tempo: \,v_y(t)=v_0\sin\theta - g t.
  • As posições (com origem no ponto de lançamento, isto é x(0)=0 e y(0)=0) são dadas por: x(t)=v_0\cos\theta\;t
y(t)=v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2.
  • Aqui:
    • \,v_0 é a velocidade inicial (módulo) do projétil,
    • \theta é o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal,
    • \,t é o tempo desde o lançamento (em s),
    • \,g é a aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

Cálculo das componentes da velocidade inicial para o projétil A (passo a passo):
  • Usamos \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Com \,v_{0A}=40\\ \mathrm{m/s}: v_{xA}=v_{0A}\cos\theta_A=40\cdot\cos 60^\circ=40\cdot\tfrac{1}{2}=20\\ \mathrm{m/s}.
v_{yA}=v_{0A}\sin\theta_A=40\cdot\sin 60^\circ=40\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • (Para referência numérica, \,20\sqrt{3}\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}, mas manteremos a forma exata 20\sqrt{3} sempre que possível.)

Passo 4

Cálculo das componentes da velocidade inicial para o projétil B (passo a passo):
  • Usamos \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Com \,v_{0B}=50\\ \mathrm{m/s}: v_{xB}=v_{0B}\cos\theta_B=50\cdot\cos 45^\circ=50\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
v_{yB}=v_{0B}\sin\theta_B=50\cdot\sin 45^\circ=50\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • (Para referência numérica, \,25\sqrt{2}\approx 35{,}36\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Escrevendo as equações da posição em função do tempo para cada projétil (resultado da parte (a)):
  • Para o projétil A, usando as componentes calculadas: x_A(t)=20\,t
y_A(t)=20\sqrt{3}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^2=20\sqrt{3}\,t-4{,}9\,t^2.
  • Para o projétil B, usando as componentes calculadas: x_B(t)=25\sqrt{2}\,t
y_B(t)=25\sqrt{2}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^2=25\sqrt{2}\,t-4{,}9\,t^2.
  • Observação didática: ambas as trajetórias têm o mesmo termo -\tfrac{1}{2}gt^2 na vertical porque sofrem a mesma aceleração da gravidade; a diferença está nas velocidades iniciais horizontais e verticais.

Passo 6

Verificação de colisão no ar (resolução da parte (b), explicada passo a passo):
  • Condição para colisão: existe algum tempo \,t>0 tal que x_A(t)=x_B(t)\quad\text{e}\quad y_A(t)=y_B(t).
  • Começamos pela igualdade horizontal, que normalmente é a mais simples: x_A(t)=x_B(t)\Longrightarrow 20\,t=25\sqrt{2}\,t.
  • Isolando, temos t\,(20-25\sqrt{2})=0.Logo as soluções são t=0 ou 20-25\sqrt{2}=0.
  • Calculando 25\sqrt{2} numericamente, \,25\sqrt{2}\approx 35{,}36, claramente diferente de 20. Portanto 20-25\sqrt{2}\neq 0. Assim a única solução da equação horizontal é t=0.
  • Interpretação física e conclusão: a igualdade de posições só ocorre no instante t=0, que é o momento do lançamento — obviamente eles partem do mesmo ponto. Para qualquer t>0 não existe igualdade horizontal, portanto não podem estar na mesma posição ao mesmo tempo depois do lançamento. Assim não há colisão no ar.
  • (Se quisermos, podemos verificar que para t=0 ambas as coordenadas são x=0, y=0, confirmando o empate inicial; mas isso não conta como colisão “no ar”.)

Resposta

(a) x_A(t)=20\,t,\qquad y_A(t)=20\sqrt{3}\,t-4{,}9\,t^2
x_B(t)=25\sqrt{2}\,t,\qquad y_B(t)=25\sqrt{2}\,t-4{,}9\,t^2
(b) Não — eles só têm a mesma posição em \,t=0 (no lançamento). Para \,t>0 não existe solução de x_A(t)=x_B(t) porque 20\neq 25\sqrt{2}, logo não há colisão no ar.

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