Dois projéteis são lançados simultaneamente do mesmo ponto no solo. O projétil A é lançado com
a
com a horizontal. O projétil B é lançado com
a
com a horizontal.
. (a) Escreva as equações da posição em função do tempo para cada projétil. (b) Os projéteis irão colidir no ar? Justifique matematicamente.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
- Dois projéteis partem simultaneamente do mesmo ponto no solo.
- Projétil A: velocidade inicial
e ângulo . - Projétil B: velocidade inicial
e ângulo . - Aceleração da gravidade:
, sempre apontando para baixo. - Perguntas:
(a) Escrever as equações da posição em função do tempo para cada projétil.
(b) Verificar se os projéteis colidem no ar (isto é, se existetal que têm a mesma posição ao mesmo tempo). Justificar matematicamente.
Passo 2
Princípio físico e fórmulas básicas (explicação didática):
- Em movimento de projétil sem resistência do ar, separamos o movimento em duas direções independentes: horizontal (x) e vertical (y).
- Horizontalmente não há aceleração (assumimos ausência de resistência), então a velocidade horizontal é constante:
. - Verticalmente há aceleração constante igual a
, então a velocidade vertical varia com o tempo: . - As posições (com origem no ponto de lançamento, isto é
e ) são dadas por:
- Aqui:
-
é a velocidade inicial (módulo) do projétil, -
é o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal, -
é o tempo desde o lançamento (em s), -
é a aceleração da gravidade ( ).
-
Passo 3
Cálculo das componentes da velocidade inicial para o projétil A (passo a passo):
- Usamos
e . - Com
:
- (Para referência numérica,
, mas manteremos a forma exata sempre que possível.)
Passo 4
Cálculo das componentes da velocidade inicial para o projétil B (passo a passo):
- Usamos
. - Com
:
- (Para referência numérica,
.)
Passo 5
Escrevendo as equações da posição em função do tempo para cada projétil (resultado da parte (a)):
- Para o projétil A, usando as componentes calculadas:
- Para o projétil B, usando as componentes calculadas:
- Observação didática: ambas as trajetórias têm o mesmo termo
na vertical porque sofrem a mesma aceleração da gravidade; a diferença está nas velocidades iniciais horizontais e verticais.
Passo 6
Verificação de colisão no ar (resolução da parte (b), explicada passo a passo):
- Condição para colisão: existe algum tempo
tal que - Começamos pela igualdade horizontal, que normalmente é a mais simples:
- Isolando, temos
Logo as soluções são ou . - Calculando
numericamente, , claramente diferente de . Portanto . Assim a única solução da equação horizontal é - Interpretação física e conclusão: a igualdade de posições só ocorre no instante
, que é o momento do lançamento — obviamente eles partem do mesmo ponto. Para qualquer não existe igualdade horizontal, portanto não podem estar na mesma posição ao mesmo tempo depois do lançamento. Assim não há colisão no ar. - (Se quisermos, podemos verificar que para
ambas as coordenadas são , , confirmando o empate inicial; mas isso não conta como colisão “no ar”.)
Resposta
(a)
(b) Não — eles só têm a mesma posição em
(no lançamento). Para
não existe solução de
porque
, logo não há colisão no ar.