As coordenadas de posição de uma partícula são dadas pelas funções: x(t)=3 t^{2}-2 t, y(t)=4 \cos (\pi t) e z(t)=2 t^{3}-t+1
Encontre: (a) O vetor posição nos instantes \mathrm{t}=0 \mathrm{set}=2 \mathrm{~s}; (b) O vetor deslocamento entre \mathrm{t}=0 \mathrm{set}=2 \mathrm{~s}; (c) As funções velocidade \overrightarrow{v_{x}}(t), \overrightarrow{v_{y}}(t); (d) O vetor velocidade no instante t =1 \mathrm{~s}; (e) As funções aceleração \overrightarrow{a_{x}}(t), \overrightarrow{a_{y}}(t) ;(\mathrm{f}) \mathrm{O} vetor aceleração no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ;(\mathrm{g}) \mathrm{O} módulo da velocidade em \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas de posição da partícula em função do tempo:
As perguntas são:
(a) Encontrar o vetor posição nos instantes t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
(b) Encontrar o vetor deslocamento entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
(c) Encontrar as funções velocidade \overrightarrow{v_{x}}(t) e \overrightarrow{v_{y}}(t).
(d) Encontrar o vetor velocidade no instante t=1\\ \mathrm{s}.
(e) Encontrar as funções aceleração \overrightarrow{a_{x}}(t) e \overrightarrow{a_{y}}(t).
(f) Encontrar o vetor aceleração no instante t=1\\ \mathrm{s}.
(g) Calcular o módulo da velocidade em t=1\\ \mathrm{s}.
Informações úteis dadas: as fórmulas de x(t), y(t) e z(t) acima; intervalos de tempo pedidos t=0,\;1,\;2\\ \mathrm{s}. Não há outras informações externas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o vetor posição genérico em forma vetorial com os versores unitários \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}:
Isso significa que para cada t a posição tem três componentes: a componente x ao longo de \hat{\mathbf{i}}, a componente y ao longo de \hat{\mathbf{j}} e a componente z ao longo de \hat{\mathbf{k}}. Na prática iremos avaliar cada componente nas pulsões de tempo pedidas.