As coordenadas de posição de uma partícula são dadas pelas funções: x(t)=3 t^{2}-2 t, y(t)=4 \cos (\pi t) e z(t)=2 t^{3}-t+1
Encontre: (a) O vetor posição nos instantes \mathrm{t}=0 \mathrm{set}=2 \mathrm{~s}; (b) O vetor deslocamento entre \mathrm{t}=0 \mathrm{set}=2 \mathrm{~s}; (c) As funções velocidade \overrightarrow{v_{x}}(t), \overrightarrow{v_{y}}(t); (d) O vetor velocidade no instante t =1 \mathrm{~s}; (e) As funções aceleração \overrightarrow{a_{x}}(t), \overrightarrow{a_{y}}(t) ;(\mathrm{f}) \mathrm{O} vetor aceleração no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ;(\mathrm{g}) \mathrm{O} módulo da velocidade em \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de posição da partícula em função do tempo:
x(t)=3\,t^{2}-2\,t,\quad y(t)=4\cos(\pi t),\quad z(t)=2\,t^{3}-t+1.
As perguntas são:
(a) Encontrar o vetor posição nos instantes t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
(b) Encontrar o vetor deslocamento entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
(c) Encontrar as funções velocidade \overrightarrow{v_{x}}(t) e \overrightarrow{v_{y}}(t).
(d) Encontrar o vetor velocidade no instante t=1\\ \mathrm{s}.
(e) Encontrar as funções aceleração \overrightarrow{a_{x}}(t) e \overrightarrow{a_{y}}(t).
(f) Encontrar o vetor aceleração no instante t=1\\ \mathrm{s}.
(g) Calcular o módulo da velocidade em t=1\\ \mathrm{s}.
Informações úteis dadas: as fórmulas de x(t), y(t) e z(t) acima; intervalos de tempo pedidos t=0,\;1,\;2\\ \mathrm{s}. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o vetor posição genérico em forma vetorial com os versores unitários \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}:
\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}+z(t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Isso significa que para cada t a posição tem três componentes: a componente x ao longo de \hat{\mathbf{i}}, a componente y ao longo de \hat{\mathbf{j}} e a componente z ao longo de \hat{\mathbf{k}}. Na prática iremos avaliar cada componente nas pulsões de tempo pedidas.

Passo 3

Avaliação das componentes para t=0 e t=2.
Calcule x(0), y(0), z(0):
x(0)=3\cdot 0^{2}-2\cdot 0=0,
y(0)=4\cos(\pi\cdot 0)=4\cos(0)=4\cdot 1=4,
z(0)=2\cdot 0^{3}-0+1=1.
Logo
\vec{r}(0)=0\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+1\,\hat{\mathbf{k}}.
Calcule x(2), y(2), z(2):
x(2)=3\cdot 2^{2}-2\cdot 2=3\cdot 4-4=12-4=8,
y(2)=4\cos(\pi\cdot 2)=4\cos(2\pi)=4\cdot 1=4\quad\text{(usei que }\cos(2\pi)=1\text{)},
z(2)=2\cdot 2^{3}-2+1=2\cdot 8-2+1=16-2+1=15.
Logo
\vec{r}(2)=8\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+15\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Deslocamento entre t=0 e t=2 é definido por
\Delta\vec{r}=\vec{r}(2)-\vec{r}(0).
Subtraindo componente a componente:
\Delta x=8-0=8,\qquad \Delta y=4-4=0,\qquad \Delta z=15-1=14.
Portanto
\Delta\vec{r}=8\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+14\,\hat{\mathbf{k}}.
Interpretação curta: a partícula se deslocou 8 unidades na direção x, nada em y e 14 em z.

Passo 5

Agora vamos encontrar as funções velocidade componentes. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\dot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Regras que usamos (explicação rápida):
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}.
  • Regra da cadeia: se y=\cos(\pi t), então \dfrac{dy}{dt}=-\sin(\pi t)\cdot \dfrac{d}{dt}(\pi t)=-\pi\sin(\pi t).
Derivando cada componente:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-2t\bigr)=6t-2.
\dot{y}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4\cos(\pi t)\bigr)=4\cdot\bigl(-\sin(\pi t)\bigr)\cdot \pi =-4\pi\sin(\pi t).
\dot{z}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}-t+1\bigr)=6t^{2}-1.
Portanto as funções velocidade (componentes) são:
\overrightarrow{v_{x}}(t)=6t-2,\qquad \overrightarrow{v_{y}}(t)=-4\pi\sin(\pi t),
e, para completar a informação útil,
\overrightarrow{v_{z}}(t)=6t^{2}-1.

Passo 6

Avaliação do vetor velocidade em t=1\\ \mathrm{s}. Substituímos t=1 nas componentes obtidas.
Calcule \dot{x}(1), \dot{y}(1), \dot{z}(1):
\dot{x}(1)=6\cdot 1-2=4,
\dot{y}(1)=-4\pi\sin(\pi\cdot 1)=-4\pi\sin(\pi)=-4\pi\cdot 0=0\quad\text{(pois }\sin(\pi)=0\text{)},
\dot{z}(1)=6\cdot 1^{2}-1=6-1=5.
Logo o vetor velocidade em t=1 é
\vec{v}(1)=4\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+5\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 7

Agora as funções aceleração: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\ddot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\ddot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\ddot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Derivando as componentes de \vec{v}(t):
Para \dot{x}(t)=6t-2:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}(6t-2)=6.
Para \dot{y}(t)=-4\pi\sin(\pi t): aplicamos regra da cadeia novamente:
\ddot{y}(t)=-4\pi\cdot\cos(\pi t)\cdot \pi =-4\pi^{2}\cos(\pi t).
Para \dot{z}(t)=6t^{2}-1:
\ddot{z}(t)=\frac{d}{dt}(6t^{2}-1)=12t.
Portanto
\overrightarrow{a_{x}}(t)=6,\qquad \overrightarrow{a_{y}}(t)=-4\pi^{2}\cos(\pi t),
e também
\overrightarrow{a_{z}}(t)=12t.

Passo 8

Avaliação do vetor aceleração em t=1\\ \mathrm{s}. Substituímos t=1:
\ddot{x}(1)=6,
\ddot{y}(1)=-4\pi^{2}\cos(\pi\cdot 1)=-4\pi^{2}\cos(\pi)=-4\pi^{2}\cdot(-1)=4\pi^{2}\quad\text{(pois }\cos(\pi)=-1\text{)},
\ddot{z}(1)=12\cdot 1=12.
Logo o vetor aceleração em t=1 é
\vec{a}(1)=6\,\hat{\mathbf{i}}+4\pi^{2}\,\hat{\mathbf{j}}+12\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 9

Cálculo do módulo (norma) da velocidade em t=1. A norma de um vetor \vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}.
No nosso caso em t=1 temos v_{x}=4, v_{y}=0, v_{z}=5. Então
\|\vec{v}(1)\|=\sqrt{4^{2}+0^{2}+5^{2}}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}.
Aproximação decimal (opcional):
\sqrt{41}\approx 6,403\\ (\text{unidades de comprimento por segundo}).

Resposta

(a) \vec{r}(0)=0\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+1\,\hat{\mathbf{k}} \quad \vec{r}(2)=8\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+15\,\hat{\mathbf{k}}
(b) \Delta\vec{r}=8\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+14\,\hat{\mathbf{k}}
(c) \overrightarrow{v_{x}}(t)=6t-2 \quad \overrightarrow{v_{y}}(t)=-4\pi\sin(\pi t)
(d) \vec{v}(1)=4\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+5\,\hat{\mathbf{k}}
(e) \overrightarrow{a_{x}}(t)=6 \quad \overrightarrow{a_{y}}(t)=-4\pi^{2}\cos(\pi t)
(f) \vec{a}(1)=6\,\hat{\mathbf{i}}+4\pi^{2}\,\hat{\mathbf{j}}+12\,\hat{\mathbf{k}}
(g) \|\vec{v}(1)\|=\sqrt{41}\approx 6,403

Exercícios relacionados