O vetor aceleração de uma partícula é \vec{a}(t)=(6 t) i-(5) j m / s^{2}. No instante t=0, a partícula está na posição r_{0}=(2 \mathrm{i}+\mathrm{j}) \mathrm{m} e tem velocidade v_{0}=(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. (a) Encontre o vetor velocidade \vec{v}(t). (b) Encontre o vetor posição \vec{r}(t). (c) Em que instante a componente x da velocidade é zero?

Passo 1

Dados do enunciado:
\vec{a}(t)=(6t)\,\mathbf{i}-5\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
No instante \,t=0 temos posição inicial \vec{r}_0=(2\mathbf{i}+\mathbf{j})\\ \mathrm{m}.
No instante \,t=0 temos velocidade inicial \vec{v}_0=(2\mathbf{i}+3\mathbf{j})\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede:
(a) Encontrar \vec{v}(t).
(b) Encontrar \vec{r}(t).
(c) Determinar o instante em que a componente x da velocidade é zero.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma simples): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em símbolos,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar componente a componente. Ao integrar aparece uma constante (ou, no caso vetorial, um vetor constante) que vamos fixar usando a condição inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_0.
Integramos a componente x: \,a_x(t)=6t. A antiderivada de 6t é 3t^{2} (porque \frac{d}{dt}(3t^{2})=6t). Então
v_x(t)=3t^{2}+C_x,
onde C_x é constante que vamos achar com v_x(0)=2. Aplicando t=0:
v_x(0)=3\cdot0^{2}+C_x= C_x = 2.
Logo
v_x(t)=3t^{2}+2.

Passo 3

Agora integramos a componente y: \,a_y(t)=-5 (constante). A antiderivada de -5 é -5t. Então
v_y(t)=-5t+C_y.
Usamos a condição inicial v_y(0)=3:
v_y(0)=-5\cdot0 + C_y = C_y = 3.
Portanto
v_y(t)=-5t+3.
Juntando as componentes, o vetor velocidade é
\vec{v}(t)=(3t^{2}+2)\,\mathbf{i}+(-5t+3)\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Próximo objetivo: obter a posição integrando a velocidade, porque a velocidade é a derivada da posição:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Novamente integramos componente a componente e introduzimos constantes que fixaremos com \vec{r}(0)=\vec{r}_0.
Integramos a componente x: v_x(t)=3t^{2}+2. A antiderivada de 3t^{2} é t^{3} (pois \frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}) e da constante 2 é 2t. Assim
r_x(t)=t^{3}+2t+C_{x}'.
Usando r_x(0)=2:
r_x(0)=0+0+C_{x}'=C_{x}'=2.
Portanto
r_x(t)=t^{3}+2t+2.

Passo 5

Integramos a componente y: v_y(t)=-5t+3. A antiderivada de -5t é -\dfrac{5}{2}t^{2} (porque \frac{d}{dt}\big(-\tfrac{5}{2}t^{2}\big)=-5t) e da constante 3 é 3t. Assim
r_y(t)=-\frac{5}{2}t^{2}+3t+C_{y}'.
Usando r_y(0)=1:
r_y(0)=0+0+C_{y}'=C_{y}'=1.
Logo
r_y(t)=-\frac{5}{2}t^{2}+3t+1.
Reunindo as componentes, o vetor posição é
\vec{r}(t)=\bigl(t^{3}+2t+2\bigr)\,\mathbf{i}+\Bigl(-\frac{5}{2}t^{2}+3t+1\Bigr)\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando \vec{v}(t) obtemos \vec{a}(t)?
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}+2\bigr)=6t,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(-5t+3\bigr)=-5,
que coincidem com as componentes de \vec{a}(t). Além disso \vec{v}(0)=(2,3) e \vec{r}(0)=(2,1) batem com as condições iniciais. Tudo consistente.

Passo 7

Parte (c): quando a componente x da velocidade é zero? Resolvemos
v_x(t)=3t^{2}+2=0.
Isso implica 3t^{2}=-2, ou t^{2}=-\dfrac{2}{3}. Essa equação não tem solução em números reais (o quadrado de um número real não pode ser negativo). Portanto não existe instante t real em que a componente x da velocidade seja zero. Observação intuitiva: 3t^{2}+2\ge 2 para todo t real, ou seja, v_x(t) é sempre positiva.

Resposta

\vec{v}(t)=(3t^{2}+2)\,\mathbf{i}+(-5t+3)\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s}
\vec{r}(t)=\bigl(t^{3}+2t+2\bigr)\,\mathbf{i}+\Bigl(-\dfrac{5}{2}t^{2}+3t+1\Bigr)\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m}
Não existe instante t real em que a componente x da velocidade seja zero.

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