O vetor aceleração de uma partícula é
. No instante t=0, a partícula está na posição
e tem velocidade
. (a) Encontre o vetor velocidade
. (b) Encontre o vetor posição
. (c) Em que instante a componente x da velocidade é zero?
Passo 1
Dados do enunciado:
.
No instante temos posição inicial
.
No instante temos velocidade inicial
.
No instante
No instante
O que se pede:
(a) Encontrar .
(b) Encontrar .
(c) Determinar o instante em que a componente da velocidade é zero.
(a) Encontrar
(b) Encontrar
(c) Determinar o instante em que a componente
Passo 2
Conceito-chave (explicado de forma simples): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em símbolos,
Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar componente a componente. Ao integrar aparece uma constante (ou, no caso vetorial, um vetor constante) que vamos fixar usando a condição inicial
.
Integramos a componente
:
. A antiderivada de
é
(porque
). Então
onde
é constante que vamos achar com
. Aplicando
:
Logo
Passo 3
Agora integramos a componente
:
(constante). A antiderivada de
é
. Então
Usamos a condição inicial
:
Portanto
Juntando as componentes, o vetor velocidade é
Passo 4
Próximo objetivo: obter a posição integrando a velocidade, porque a velocidade é a derivada da posição:
Novamente integramos componente a componente e introduzimos constantes que fixaremos com
.
Integramos a componente
:
. A antiderivada de
é
(pois
) e da constante
é
. Assim
Usando
:
Portanto
Passo 5
Integramos a componente
:
. A antiderivada de
é
(porque
) e da constante
é
. Assim
Usando
:
Logo
Reunindo as componentes, o vetor posição é
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando
obtemos
?
que coincidem com as componentes de
. Além disso
e
batem com as condições iniciais. Tudo consistente.
Passo 7
Parte (c): quando a componente
da velocidade é zero? Resolvemos
Isso implica
, ou
. Essa equação não tem solução em números reais (o quadrado de um número real não pode ser negativo). Portanto não existe instante
real em que a componente
da velocidade seja zero. Observação intuitiva:
para todo
real, ou seja,
é sempre positiva.
Resposta
Não existe instante
real em que a componente
da velocidade seja zero.