Dois pulsos na mesma corda são descritos pelas seguintes equações de onda:
\left\{\begin{array}{l} y_{1}(x, t)=\frac{20}{(3 x-4 t)^{2}+2} \\\ y_{2}(x, t)=-\frac{20}{(3 x+4 t-6)^{2}+2} \end{array}\right.
Sobre os pulsos são feitas as seguintes afirmativas:
I. A energia potencial da corda é nula em t=0,75 \mathrm{~s}.
II. A energia mecânica da corda é nula em t=0,75 \mathrm{~s}.
III. Uma é progressiva e a outra é regressiva.
Pode-se afirmar que:
a) apenas I é verdadeiro.
b) apenas II é verdadeiro.
c) apenas III é verdadeiro.
d) apenas I e II são verdadeiros.
e) apenas I e III são verdadeiros.

Passo 1

O enunciado descreve duas depressões na corda dadas por
y_{1}(x,t)=\frac{20}{(3x-4t)^{2}+2}, \quad y_{2}(x,t)=-\frac{20}{(3x+4t-6)^{2}+2},
e pede para analisar três afirmações:
I. A energia potencial é nula em t=0,75 s.
II. A energia mecânica é nula em t=0,75 s.
III. Uma onda é progressiva e a outra é regressiva.
Vamos usar a forma dos argumentos das funções para determinar a direção de propagação e avaliar deslocamento e velocidades em t=0,75 s para verificar I e II.

Passo 2

Para saber se uma é progressiva (direita) e a outra regressiva (esquerda), note que \,y_{1}(x,t)=f(3x-4t) corresponde a uma forma f\bigl(x-\tfrac{4}{3}t\bigr), ou seja, desloca-se para a direita com velocidade v=\tfrac{4}{3}.
y_{2}(x,t)=g(3x+4t-6) pode ser escrita como g\bigl(x+\tfrac{4}{3}t-2\bigr), deslocando-se para a esquerda com a mesma rapidez.
Logo, a afirmação III é verdadeira.

Passo 3

Em t=0,75 s temos 4t=3, então
3x-4t=3x-3, \quad 3x+4t-6=3x-3.
Assim
y_{1}(x,0,75)=\frac{20}{(3x-3)^{2}+2}, \quad y_{2}(x,0,75)=-\frac{20}{(3x-3)^{2}+2},
e portanto y(x,0,75)=y_{1}+y_{2}=0 para todo x. Como o potencial elástico por unidade de comprimento é \tfrac12T(\partial y/\partial x)^{2} e aqui \partial y/\partial x=0, a energia potencial total é nula. Logo, I é verdadeira.

Passo 4

A energia mecânica total mistura potencial e cinética:
E_{\text{mec}}=\int\bigl[\tfrac12T(y_{x})^{2}+\tfrac12\mu(y_{t})^{2}\bigr]dx.
Em t=0,75 s já vimos que y_{x}=0 mas y_{t}\neq0 (exceto no ponto isolado onde o pulso cruza o centro). De fato, derivando as duas contribuições em relação a t, percebe­-se que em geral y_{t1}+y_{t2}\neq0. Desse modo há energia cinética não nula e portanto a energia mecânica não se anula. A afirmação II é falsa.

Resposta

e) apenas I e III são verdadeiros.

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