Questão 13 -

Dois corpos puntiformes oscilam sobre um mesmo eixo de acordo com as funções horárias a seguir
\begin{aligned} & x_{A}(t)=A \cos (\omega t) \\\ & x_{B}(t)=2 B+B \operatorname{sen}(\omega t) \end{aligned}
onde B>A>0. Se a máxima velocidade relativa entre dois corpos vale \omega A \sqrt{5}, assinale a alternativa com a maior distância entre os dois corpos.
a) A(\sqrt{5}-2).
b) A (\sqrt{5}+2).
c) A (4-\sqrt{5}).
d) A (4+\sqrt{5}).
e) 8 A .

Passo 1

O enunciado dá duas oscilações ao longo do mesmo eixo:
x_{A}(t)=A\cos(\omega t), \quad x_{B}(t)=2B + B\operatorname{sen}(\omega t),
com B>A>0, e informa que a velocidade relativa máxima vale \omega A\sqrt{5}.
Conteúdo: movimento harmônico simples e soma de senos e cossenos para obter amplitude. Vamos achar B em função de A e depois a distância máxima \max|x_B - x_A|.

Passo 2

Definimos o deslocamento relativo
\Delta x(t)=x_{B}(t)-x_{A}(t) = 2B + B\operatorname{sen}(\omega t) - A\cos(\omega t).
A velocidade relativa é
v_{\rm rel}(t) =\frac{d}{dt}\Delta x(t) =\omega\bigl(B\cos(\omega t)+A\operatorname{sen}(\omega t)\bigr).
Como isso é da forma \omega\bigl(B\cos\theta +A\operatorname{sen}\theta\bigr), sua máxima magnitude é \omega\sqrt{B^{2}+A^{2}} e deve ser igual a \omega A\sqrt{5}. Logo
\sqrt{B^{2}+A^{2}}=A\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad B^{2}+A^{2}=5A^{2} \quad\Longrightarrow\quad B=2A.

Passo 3

Com B=2A, o deslocamento relativo fica
\Delta x(t) =2(2A)+2A\operatorname{sen}(\omega t)-A\cos(\omega t) =4A + A\bigl(2\operatorname{sen}(\omega t)-\cos(\omega t)\bigr).
Para achar o valor máximo de \Delta x(t), observamos que a expressão dentro dos parênteses é uma combinação linear de seno e cosseno cuja amplitude é \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}. Portanto
\max_{t}\Delta x(t)=4A + A\sqrt{5}=A(4+\sqrt{5}).

Resposta

A distância máxima entre os dois corpos é
A (4+\sqrt{5}), ou seja, alternativa (d).

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