Dois rapazez brincam de tênis na praia. Um deles dá uma requentada na bola a 2,45 m de altura, imprimindo-lhe uma velocidade de 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na horizontal. Qual deve ser a velocidade minima do outo rapaz, situado inicialmente a 20,3 m a frente do primeiro, para que consiga aparar a bola antes que ela bata na areia? (Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Altura inicial da raquetada: \,h=2{,}45\\ \mathrm{m}\,.
    • Velocidade inicial da bola na horizontal: \,72\\ \mathrm{km/h}\,.
    • Distância inicial entre os rapazes: \,d=20{,}3\\ \mathrm{m}\, (o segundo está à frente do primeiro, na direção do movimento da bola).
    • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • Pergunta: qual deve ser a velocidade mínima do segundo rapaz (constante, assumimos) para conseguir aparar a bola antes que ela bata na areia?

Passo 2

Entender o movimento vertical da bola (essa parte é essencial). Como a bola foi imprimida horizontalmente, sua velocidade vertical inicial é zero. A posição vertical em função do tempo, tomando y=0 no solo, é
y(t)=h-\tfrac{1}{2}gt^{2},
onde:
  • \,y(t)\, é a altura da bola no instante t,
  • \,h é a altura inicial,
  • \,g é a aceleração da gravidade,
  • \,t é o tempo desde a raquetada.
A bola bate no solo quando y(t)=0. Logo,
0=h-\tfrac{1}{2}gt^{2}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 3

Calcular o tempo de queda usando os números dados:
t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 2{,}45}{10}}=\sqrt{\dfrac{4{,}90}{10}}=\sqrt{0{,}49}=0{,}7\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a bola leva \,0{,}7\\ \mathrm{s}\, até tocar a areia.

Passo 4

Agora o movimento horizontal da bola. A componente horizontal da velocidade é constante (não há forças horizontais relevantes):
x_{\text{bola}}(t)=v_x\,t,
onde \,v_x é a velocidade horizontal da bola. Primeiro converto \,72\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
72\\ \mathrm{km/h}=72\cdot\dfrac{1000}{3600}=20\\ \mathrm{m/s}.
Portanto \,v_x=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Distância horizontal percorrida pela bola até tocar o solo:
x_{\text{queda}}=v_x\,t_{\text{queda}}=20\cdot 0{,}7=14\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bola cai a 14\\ \mathrm{m} do primeiro rapaz (quem deu a raquetada).

Passo 6

Comparar com a posição do segundo rapaz: ele está a \,d=20{,}3\\ \mathrm{m} do primeiro. Logo o ponto de queda da bola está \,20{,}3-14=6{,}3\\ \mathrm{m}\, atrás dele (ou seja, o segundo rapaz precisa andar 6{,}3\\ \mathrm{m} na direção do primeiro para alcançar o ponto onde a bola vai cair).

Passo 7

Agora a parte de encontro (interceptação). Se o segundo rapaz corre com velocidade constante \,u na direção da bola (isto é, no sentido negativo do eixo x), sua posição em função do tempo, tomando x=0 no primeiro rapaz, é
x_{\text{rapaz}}(t)=d - u t.
A bola tem posição horizontal
x_{\text{bola}}(t)=v_x t = 20\,t.
Para interceptar a bola é necessário existir um t tal que x_{\text{rapaz}}(t)=x_{\text{bola}}(t) com 0\le t\le t_{\text{queda}}. Igualando:
d - u t = 20\,t \quad\Rightarrow\quad d = (20+u)\,t \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{d}{20+u}.

Passo 8

Queremos que esse tempo de encontro seja menor ou igual ao tempo de queda da bola (se for igual, ele chega exatamente quando a bola toca; se for menor, ele chega antes). Então impomos
\dfrac{d}{20+u}\le t_{\text{queda}}.
Substituindo d=20{,}3 e t_{\text{queda}}=0{,}7:
\dfrac{20{,}3}{20+u}\le 0{,}7.
Resolver a desigualdade (o denominador 20+u é positivo para velocidades físicas u\ge 0):
20{,}3 \le 0{,}7(20+u)=14+0{,}7u
0{,}7u \ge 20{,}3-14=6{,}3
u \ge \dfrac{6{,}3}{0{,}7}=9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Interpretação final e observação prática: o cálculo mostra que \,u=9\\ \mathrm{m/s} é a velocidade na qual o segundo rapaz chega exatamente no instante em que a bola toca o solo. Para realmente “aparar a bola antes que ela bata na areia” seria desejável uma velocidade ligeiramente maior que \,9\\ \mathrm{m/s}. Porém, matematicamente, a velocidade mínima que garante interceptação até o momento do impacto é \,9\\ \mathrm{m/s}.
Força de estudo: 9 m/s é rápido (equivalente a correr os 100 m em ~11 s, ritmo de atleta); então não se desanime se parecer alto — na prova interessa saber montar as equações e resolver direitinho, e você fez isso agora lendo passo a passo!

Resposta

9\\ \mathrm{m/s}

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