Dois rapazez brincam de tênis na praia. Um deles dá uma requentada na bola a
de altura, imprimindo-lhe uma velocidade de
na horizontal. Qual deve ser a velocidade minima do outo rapaz, situado inicialmente a
a frente do primeiro, para que consiga aparar a bola antes que ela bata na areia? (Use
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Altura inicial da raquetada:
. - Velocidade inicial da bola na horizontal:
. - Distância inicial entre os rapazes:
(o segundo está à frente do primeiro, na direção do movimento da bola). - Aceleração da gravidade:
.
- Altura inicial da raquetada:
- Pergunta: qual deve ser a velocidade mínima do segundo rapaz (constante, assumimos) para conseguir aparar a bola antes que ela bata na areia?
Passo 2
Entender o movimento vertical da bola (essa parte é essencial). Como a bola foi imprimida horizontalmente, sua velocidade vertical inicial é zero. A posição vertical em função do tempo, tomando
no solo, é
onde:
-
é a altura da bola no instante , -
é a altura inicial, -
é a aceleração da gravidade, -
é o tempo desde a raquetada.
A bola bate no solo quando
. Logo,
Passo 3
Calcular o tempo de queda usando os números dados:
Interpretação: a bola leva
até tocar a areia.
Passo 4
Agora o movimento horizontal da bola. A componente horizontal da velocidade é constante (não há forças horizontais relevantes):
onde
é a velocidade horizontal da bola. Primeiro converto
para
:
Portanto
.
Passo 5
Distância horizontal percorrida pela bola até tocar o solo:
Interpretação: a bola cai a
do primeiro rapaz (quem deu a raquetada).
Passo 6
Comparar com a posição do segundo rapaz: ele está a
do primeiro. Logo o ponto de queda da bola está
atrás dele (ou seja, o segundo rapaz precisa andar
na direção do primeiro para alcançar o ponto onde a bola vai cair).
Passo 7
Agora a parte de encontro (interceptação). Se o segundo rapaz corre com velocidade constante
na direção da bola (isto é, no sentido negativo do eixo
), sua posição em função do tempo, tomando
no primeiro rapaz, é
A bola tem posição horizontal
Para interceptar a bola é necessário existir um
tal que
com
. Igualando:
Passo 8
Queremos que esse tempo de encontro seja menor ou igual ao tempo de queda da bola (se for igual, ele chega exatamente quando a bola toca; se for menor, ele chega antes). Então impomos
Substituindo
e
:
Resolver a desigualdade (o denominador
é positivo para velocidades físicas
):
Passo 9
Interpretação final e observação prática: o cálculo mostra que
é a velocidade na qual o segundo rapaz chega exatamente no instante em que a bola toca o solo. Para realmente “aparar a bola antes que ela bata na areia” seria desejável uma velocidade ligeiramente maior que
. Porém, matematicamente, a velocidade mínima que garante interceptação até o momento do impacto é
.
Força de estudo: 9 m/s é rápido (equivalente a correr os 100 m em ~11 s, ritmo de atleta); então não se desanime se parecer alto — na prova interessa saber montar as equações e resolver direitinho, e você fez isso agora lendo passo a passo!