Dois recipientes, um em forma de cilindro e o outro, de paralelepípedo, cujas bases estão num mesmo plano, são unidos por uma tubulação com uma válvula no meio. Inicialmente, a válvula está fechada, o paralelepípedo está vazio e o cilindro é ocupado, em parte, por um líquido cujo volume é de 2000 \pi litros, atingindo uma altura de 2 metros. A válvula é aberta e, após certo tempo, verifica-se que os dois recipientes têm o mesmo nível do líquido. Considerando desprezível o volume da tubulação que une os dois reservatórios e sabendo que a área da base do paralelepípedo é de 1,5 \pi \mathrm{~m}^{2}, o volume final, em litros, de líquido no paralelepípedo é:
a) 600 \pi
b) 800 \pi
c) 1000 \pi
d) 1200 \pi

Passo 1

O enunciado descreve dois reservatórios interligados por uma válvula: um cilindro e um paralelepípedo. Inicialmente o cilindro contém 2000\pi litros de líquido, com altura 2 m, e o paralelepípedo está vazio. Ao abrir a válvula, o líquido se redistribui até igualar a altura nos dois reservatórios. Para resolver, usaremos conservação de volume e as fórmulas de volume de cilindro e de prisma reto.

Passo 2

Primeiro, convertemos o volume inicial para metros cúbicos e determinamos a área da base do cilindro. Sabendo que 1 litro equivale a 0,001\;\text{m}^3,
V_i = 2000\pi \times 0,001 = 2\pi\;\text{m}^3.
Como esse volume ocupa altura 2 m no cilindro, sua área de base A_c satisfaz
V_i = A_c \cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad A_c = \frac{2\pi}{2} = \pi\;\text{m}^2.

Passo 3

Após abrir a válvula, o nível comum do líquido atinge uma altura h.
O volume no cilindro fica A_c\,h=\pi h e no paralelepípedo é A_p\,h, com A_p=1,5\pi\;\text{m}^2.
Pela conservação de volume:
\pi h + 1,5\pi h = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad 2,5\pi h = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad h = 0,8\;\text{m}.

Passo 4

O volume final no paralelepípedo é
V_p = A_p \, h = 1,5\pi \times 0,8 = 1,2\pi\;\text{m}^3.
Convertendo para litros ( 1\;\text{m}^3=1000 L),
V_p = 1,2\pi \times 1000 = 1200\pi\;\text{litros}.

Resposta

d) 1200\pi

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