Dois satélites, A e B, ambos de massa m, estão em órbita circular em torno da Terra. O satélite A orbita a uma altitude de 12.740 km e o satélite B a uma altitude de 21.000 km . O raio da Terra é de 6370 km . (a) Qual é a razão entre a energia potencial do satélite B e a do satélite A? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A? (c) Qual dos dois satélites possui maior energia total, se ambos têm uma massa de 20 kg ? (d) Qual é a diferença entre as energias totais dos dois satélites?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas envolvendo dois satélites A e B que estão em órbita circular em torno da Terra:
(a) a razão entre a energia potencial de B e a de A;
(b) a razão entre a energia cinética de B e a de A;
(c) qual dos dois satélites possui maior energia total, supondo massa m=20\\ \mathrm{kg};
(d) a diferença entre as energias totais dos dois satélites (valor numérico).
Dados fornecidos no enunciado (vou listá‑los explicitamente):
\text{altitude de A} = 12\,740\\ \mathrm{km},
\text{altitude de B} = 21\,000\\ \mathrm{km},
\text{raio da Terra } R_{\oplus} = 6\,370\\ \mathrm{km}.
Para (c) e (d) temos a massa de cada satélite:
m = 20\\ \mathrm{kg}.
Obs.: quando eu usar algum valor numérico a partir dos dados acima (por exemplo para calcular raios orbitais), vou explicitar que peguei esses números do enunciado.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas físicas que precisamos e explicar de onde vêm (com calma, passo a passo).
Energia potencial gravitacional de um corpo de massa m a distância r do centro da Terra:
U(r) = -\frac{GMm}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal ( 6,67430\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-1}}) — aqui é conveniente usar o produto GM da Terra;
  • M é a massa da Terra;
  • r é a distância do centro da Terra até o satélite;
  • o sinal negativo indica que a energia potencial é negativa em relação ao infinito.
Para uma órbita circular, a velocidade orbital v satisfaz que a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
\frac{GMm}{r^2} = \frac{m v^2}{r}.
Cancelando m e rearranjando:
v^2 = \frac{GM}{r}.
A energia cinética é
K(r) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \cdot \frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r}.
A energia total (cinética + potencial) da órbita circular é então
E(r) = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}.
Resumo das fórmulas que usaremos:
U(r) = -\frac{GMm}{r},\qquad K(r)=\frac{GMm}{2r},\qquad E(r)=-\frac{GMm}{2r}.
Expliquei de onde veio cada expressão: a expressão de K vem de igualar gravidade com centrípeta e a expressão de E vem da soma K+U.

Passo 3

Calcular os raios orbitais (distância do centro da Terra) a partir das altitudes dadas. Usei os dados do enunciado:
r_A = R_{\oplus} + \text{altitude}_A = 6\,370\\ \mathrm{km} + 12\,740\\ \mathrm{km} = 19\,110\\ \mathrm{km},
r_B = R_{\oplus} + \text{altitude}_B = 6\,370\\ \mathrm{km} + 21\,000\\ \mathrm{km} = 27\,370\\ \mathrm{km}.
Para cálculos numéricos em SI converter para metros:
r_A = 19\,110\\ \mathrm{km} = 1,9110\times 10^{7}\\ \mathrm{m},
r_B = 27\,370\\ \mathrm{km} = 2,7370\times 10^{7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resposta (a): razão entre as energias potenciais \dfrac{U_B}{U_A}.
Usando U(r)=-\dfrac{GMm}{r} temos
\frac{U_B}{U_A}=\frac{-\dfrac{GMm}{r_B}}{-\dfrac{GMm}{r_A}}=\frac{r_A}{r_B}.
Ou seja, as constantes GMm e os sinais negativos se cancelam — a razão depende só da razão dos raios. Agora substituo os valores de r_A e r_B:
\frac{U_B}{U_A}=\frac{r_A}{r_B}=\frac{19\,110}{27\,370}\approx 0,69821.
Arredondando razoavelmente (3 ou 4 algarismos significativos):
\frac{U_B}{U_A}\approx 0,6982.

Passo 5

Resposta (b): razão entre as energias cinéticas \dfrac{K_B}{K_A}.
Usando K(r)=\dfrac{GMm}{2r} temos, análogo ao caso anterior,
\frac{K_B}{K_A}=\frac{\dfrac{GMm}{2r_B}}{\dfrac{GMm}{2r_A}}=\frac{r_A}{r_B}.
Portanto a razão é a mesma que para as energias potenciais:
\frac{K_B}{K_A}=\frac{r_A}{r_B}\approx 0,6982.

Passo 6

Resposta (c): qual dos satélites tem maior energia total (com m=20\\ \mathrm{kg})?
A energia total de cada satélite em órbita circular é E(r)=-\dfrac{GMm}{2r}. Note que E é negativa e proporcional a -1/r. Para dois raios r_A<r_B (como aqui), o módulo |E| é maior em A, mas E é mais negativo em A; portanto E_B é menos negativo (mais próximo de zero) do que E_A. Em termos simples: quanto mais distante (maior r), menor a magnitude negativa, logo maior (numericamente) é a energia total. Assim:
E_B > E_A.
Conclusão: o satélite B possui maior energia total (é menos ligado gravitacionalmente à Terra).

Passo 7

Resposta (d): diferença numérica entre as energias totais dos dois satélites \Delta E = E_B - E_A para m=20\\ \mathrm{kg}.
Uso a expressão de E(r) e computo a diferença:
\Delta E = E_B - E_A = -\frac{GMm}{2r_B} - \left(-\frac{GMm}{2r_A}\right) = -\frac{GMm}{2}\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right) = \frac{GMm}{2}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
Para o cálculo numérico uso o parâmetro gravitacional da Terra \mu=GM. Vou usar o valor padrão:
\mu = GM = 3,986004418\times 10^{14}\\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}.
Substituindo \mu, m=20\\ \mathrm{kg}, r_A=1,9110\times 10^{7}\\ \mathrm{m} e r_B=2,7370\times 10^{7}\\ \mathrm{m}:
\Delta E = \frac{\mu m}{2}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
Calculemos passo a passo (apenas arredondando no final):
\frac{1}{r_A}\approx 5,2348\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \frac{1}{r_B}\approx 3,6556\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\approx 1,5792\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}.
\frac{\mu m}{2}=\frac{3,986004418\times 10^{14}\times 20}{2}=3,986004418\times 10^{15}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Multiplicando:
\Delta E \approx 3,986004418\times 10^{15}\times 1,5792\times 10^{-8}\\ \mathrm{J} \approx 6,2939\times 10^{7}\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\Delta E \approx 6,29\times 10^{7}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) \dfrac{U_B}{U_A}\approx 0,6982
(b) \dfrac{K_B}{K_A}\approx 0,6982
(c) O satélite B possui maior energia total.
(d) \Delta E = E_B - E_A \approx 6,29\times 10^{7}\\ \mathrm{J}

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