Dois satélites, A e B, ambos de massa m, estão em órbita circular em torno da Terra. O satélite A orbita a uma altitude de 12.740 km e o satélite B a uma altitude de 21.000 km . O raio da Terra é de 6370 km . (a) Qual é a razão entre a energia potencial do satélite B e a do satélite A? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A? (c) Qual dos dois satélites possui maior energia total, se ambos têm uma massa de 20 kg ? (d) Qual é a diferença entre as energias totais dos dois satélites?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas envolvendo dois satélites A e B que estão em órbita circular em torno da Terra:
(a) a razão entre a energia potencial de e a de
;
(b) a razão entre a energia cinética de e a de
;
(c) qual dos dois satélites possui maior energia total, supondo massa ;
(d) a diferença entre as energias totais dos dois satélites (valor numérico).
(a) a razão entre a energia potencial de
(b) a razão entre a energia cinética de
(c) qual dos dois satélites possui maior energia total, supondo massa
(d) a diferença entre as energias totais dos dois satélites (valor numérico).
Dados fornecidos no enunciado (vou listá‑los explicitamente):
Para (c) e (d) temos a massa de cada satélite:
Obs.: quando eu usar algum valor numérico a partir dos dados acima (por exemplo para calcular raios orbitais), vou explicitar que peguei esses números do enunciado.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas físicas que precisamos e explicar de onde vêm (com calma, passo a passo).
Energia potencial gravitacional de um corpo de massa
a distância
do centro da Terra:
onde:
-
é a constante gravitacional universal ( ) — aqui é conveniente usar o produto da Terra; -
é a massa da Terra; -
é a distância do centro da Terra até o satélite; - o sinal negativo indica que a energia potencial é negativa em relação ao infinito.
Para uma órbita circular, a velocidade orbital
satisfaz que a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
Cancelando
e rearranjando:
A energia cinética é
A energia total (cinética + potencial) da órbita circular é então
Resumo das fórmulas que usaremos:
Expliquei de onde veio cada expressão: a expressão de
vem de igualar gravidade com centrípeta e a expressão de
vem da soma
.
Passo 3
Calcular os raios orbitais (distância do centro da Terra) a partir das altitudes dadas. Usei os dados do enunciado:
Para cálculos numéricos em SI converter para metros:
Passo 4
Resposta (a): razão entre as energias potenciais
.
Usando
temos
Ou seja, as constantes
e os sinais negativos se cancelam — a razão depende só da razão dos raios. Agora substituo os valores de
e
:
Arredondando razoavelmente (3 ou 4 algarismos significativos):
Passo 5
Resposta (b): razão entre as energias cinéticas
.
Usando
temos, análogo ao caso anterior,
Portanto a razão é a mesma que para as energias potenciais:
Passo 6
Resposta (c): qual dos satélites tem maior energia total (com
)?
A energia total de cada satélite em órbita circular é
. Note que
é negativa e proporcional a
. Para dois raios
(como aqui), o módulo
é maior em A, mas
é mais negativo em A; portanto
é menos negativo (mais próximo de zero) do que
. Em termos simples: quanto mais distante (maior
), menor a magnitude negativa, logo maior (numericamente) é a energia total. Assim:
Conclusão: o satélite B possui maior energia total (é menos ligado gravitacionalmente à Terra).
Passo 7
Resposta (d): diferença numérica entre as energias totais dos dois satélites
para
.
Uso a expressão de
e computo a diferença:
Para o cálculo numérico uso o parâmetro gravitacional da Terra
. Vou usar o valor padrão:
Substituindo
,
,
e
:
Calculemos passo a passo (apenas arredondando no final):
Multiplicando:
Arredondando a três algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(c) O satélite possui maior energia total.
(d)
(b)
(c) O satélite
(d)