Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e forma útil de reescrever:
Podemos escrever a equação na forma explícita para
como
Passo 2
Verificação rápida se a equação é exata (apenas para testar uma possibilidade):
Para uma 1-forma ser exata precisamos de
.
Calculemos:
Para uma 1-forma
Calculemos:
Como
, a equação não é exata. Então precisamos de outro método.
Passo 3
Observação que guia a escolha do método: tanto o numerador
quanto parte do denominador
envolvem a combinação linear
. Isso sugere tentar a substituição que agrupe essas combinações:
definimos
definimos
Motivo: ao usar
o numerador vira
e o denominador fica em termos de
também (porque
), o que pode simplificar a equação.
Passo 4
Calcule a derivada de
em relação a
. Como
,
Aqui
é a derivada da função incógnita
. Vamos expressar
em termos de
e, em seguida, obter uma equação para
.
Passo 5
Escrevemos
usando a equação original em termos de
:
pois substituímos
e
.
Passo 6
Substituímos
em
:
Agora simplificamos a soma de frações:
Isso é uma equação diferencial para
na forma autônoma (o lado direito depende só de
), então é separável.
Passo 7
Separe variáveis escrevendo
:
Integramos ambos os lados:
Para integrar o lado direito, fazemos divisão algébrica ou escrevemos como soma de termo constante mais termo racional:
procuramos e
tais que
procuramos
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes obtemos
e
. Então
e
.
Assim
Integramos:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Portanto a integral completa é
onde
é constante de integração.
Passo 8
Voltando à variável original
usando
. Substituímos na relação encontrada:
Multiplicando tudo por
para limpar denominadores:
onde
. Expandindo:
Passando termos para um lado:
Chamando a constante arbitrária novamente de
, uma forma final e limpa da solução geral implícita é
Passo 9
Observações finais e pequeno check (breve): essa relação é implícita em
e
. Se quiséssemos verificar, poderíamos derivar implicitamente em
e recuperar a expressão original para
; isso confirma a consistência do procedimento (omitimos o cálculo de verificação linha a linha para não alongar demais, mas é direto).