Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
(-2 x-y+1) d x+(4 x+2 y+5) d y=0

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
(-2x - y + 1)\,dx + (4x + 2y + 5)\,dy = 0.
Informações dadas e forma útil de reescrever:
M(x,y) = -2x - y + 1,\qquad N(x,y)=4x + 2y + 5.
Podemos escrever a equação na forma explícita para y(x) como
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y-1}{4x+2y+5}.

Passo 2

Verificação rápida se a equação é exata (apenas para testar uma possibilidade):
Para uma 1-forma M\,dx+N\,dy ser exata precisamos de \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} = -1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=4.
Como -1\neq4, a equação não é exata. Então precisamos de outro método.

Passo 3

Observação que guia a escolha do método: tanto o numerador 2x+y-1 quanto parte do denominador 4x+2y+5 envolvem a combinação linear 2x+y. Isso sugere tentar a substituição que agrupe essas combinações:
definimos
u = 2x + y.
Motivo: ao usar u o numerador vira u-1 e o denominador fica em termos de u também (porque 4x+2y=2(2x+y)=2u), o que pode simplificar a equação.

Passo 4

Calcule a derivada de u em relação a x. Como u=2x+y(x),
\frac{du}{dx}=2+\frac{dy}{dx}.
Aqui dy/dx é a derivada da função incógnita y(x). Vamos expressar dy/dx em termos de u e, em seguida, obter uma equação para u(x).

Passo 5

Escrevemos dy/dx usando a equação original em termos de u:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y-1}{4x+2y+5}=\frac{u-1}{2u+5},
pois substituímos 2x+y=u e 4x+2y=2u.

Passo 6

Substituímos \dfrac{dy}{dx} em \dfrac{du}{dx}=2+\dfrac{dy}{dx}:
\frac{du}{dx}=2+\frac{u-1}{2u+5}.
Agora simplificamos a soma de frações:
\frac{du}{dx}=\frac{2(2u+5)+(u-1)}{2u+5}=\frac{4u+10+u-1}{2u+5}=\frac{5u+9}{2u+5}.
Isso é uma equação diferencial para u(x) na forma autônoma (o lado direito depende só de u), então é separável.

Passo 7

Separe variáveis escrevendo dx/du:
\frac{dx}{du}=\frac{2u+5}{5u+9}.
Integramos ambos os lados:
\int dx=\int \frac{2u+5}{5u+9}\,du.
Para integrar o lado direito, fazemos divisão algébrica ou escrevemos como soma de termo constante mais termo racional:
procuramos A e B tais que
\frac{2u+5}{5u+9}=A+\frac{B}{5u+9}.
Multiplicando por 5u+9:
2u+5 = A(5u+9)+B = 5A\,u + 9A + B.
Comparando coeficientes obtemos 5A=2 e 9A+B=5. Então A=\dfrac{2}{5} e B=5-9A=5-9\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{5}.
Assim
\frac{2u+5}{5u+9}=\frac{2}{5}+\frac{7/5}{5u+9}.
Integramos:
\int \left(\frac{2}{5}+\frac{7/5}{5u+9}\right)\,du = \frac{2}{5}u + \frac{7}{5}\int\frac{du}{5u+9}.
Fazendo a substituição t=5u+9, dt=5\,du, obtemos
\int\frac{du}{5u+9}=\frac{1}{5}\ln|5u+9|.
Portanto a integral completa é
x = \frac{2}{5}u + \frac{7}{25}\ln|5u+9| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável original x,y usando u=2x+y. Substituímos na relação encontrada:
x = \frac{2}{5}(2x+y) + \frac{7}{25}\ln|5(2x+y)+9| + C.
Multiplicando tudo por 25 para limpar denominadores:
25x = 10(2x+y) + 7\ln|10x+5y+9| + C_1,
onde C_1=25C. Expandindo:
25x = 20x + 10y + 7\ln|10x+5y+9| + C_1.
Passando termos para um lado:
5x - 10y - 7\ln|10x+5y+9| = C_1.
Chamando a constante arbitrária novamente de C, uma forma final e limpa da solução geral implícita é
5x - 10y - 7\ln|10x+5y+9| = C.

Passo 9

Observações finais e pequeno check (breve): essa relação é implícita em x e y. Se quiséssemos verificar, poderíamos derivar implicitamente em x e recuperar a expressão original para dy/dx; isso confirma a consistência do procedimento (omitimos o cálculo de verificação linha a linha para não alongar demais, mas é direto).

Resposta

5x - 10y - 7\ln|10x+5y+9| = C

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