Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está no formato diferencial de primeira ordem
com - A tarefa é encontrar a família de curvas implícita/explicitamente que satisfazem essa igualdade (solução geral).
- Não há outras condições iniciais fornecidas (constante arbitrária esperada).
Passo 2
Vamos investigar métodos possíveis antes de resolver: testar se a equação é exata e, se não for, procurar um método adequado.
- Verificar exatidão: calcular as parciais
Como
, a forma não é exata.
- Verificar possibilidade de fator integrante dependente apenas de
ou apenas de :
- Para um fator integrante
costuma-se checar se depende só de . Calculando: que depende de , não de , portanto não serve para . - Para um fator
verifica-se , que dá função dependente de e (não só de ). Não há fator integrante simples só em ou só em .
- Observar homogeneidade:
e são homogêneos do mesmo grau?
-
tem grau . -
tem termos de grau .
Como ambos são homogêneos de grau, a equação é homogênea de primeira ordem. Isso sugere a substituição clássica
que reduz a equação a variáveis separáveis. Vou usar esse método porque transforma uma função homogênea em uma equação em
e
.
Passo 3
Aplicar a substituição
. Primeiro escrevemos a equação em forma de derivada:
Com
temos
Substituindo
no lado direito:
Portanto a equação reduzida é
Passo 4
Isolar
para separar variáveis:
Colocar em uma fração comum:
Logo
Reescrevendo para separar
e
:
Passo 5
Integramos ambos os lados. Antes, decompondo a função racional em
:
queremos integrar
queremos integrar
Fazemos a decomposição do tipo
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
- termo constante:
→ . - termo
: → .
Portanto
Agora integremos:
Para a segunda integral, use
, então
e
. Assim
A primeira integral é
. Portanto o primitivo do lado esquerdo é
Integrando o lado direito
. Igualando:
Passo 6
Simplificar a expressão e voltar para
. Multiplicar a igualdade por
para limpar frações:
Juntar os logaritmos:
Exponenciando e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante positiva
:
Agora substituir
:
Fazendo as contas:
Observações sobre domínio e constantes:
- Na dedução usamos
e a substituição , então assumimos . As curvas obtidas pela solução implícita valem para ; podem ser continuadas por continuidade quando possível. - A expressão
é não-negativa, então . O caso corresponde a , que é de fato solução (verificação direta: se então e ).