Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
\left(2 x^{3} y\right) d x+\left(x^{4}+y^{4}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada:
\left(2 x^{3} y\right) d x+\left(x^{4}+y^{4}\right) d y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está no formato diferencial de primeira ordem M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=2x^{3}y,\qquad N(x,y)=x^{4}+y^{4}.
  • A tarefa é encontrar a família de curvas implícita/explicitamente que satisfazem essa igualdade (solução geral).
  • Não há outras condições iniciais fornecidas (constante arbitrária esperada).

Passo 2

Vamos investigar métodos possíveis antes de resolver: testar se a equação é exata e, se não for, procurar um método adequado.
  1. Verificar exatidão: calcular as parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=2x^{3},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=4x^{3}.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata.
  1. Verificar possibilidade de fator integrante dependente apenas de x ou apenas de y:
  • Para um fator integrante \mu(x) costuma-se checar se \dfrac{1}{M}\big(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\big) depende só de x. Calculando: \frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{4x^{3}-2x^{3}}{2x^{3}y}=\frac{1}{y},que depende de y, não de x, portanto não serve para \mu(x).
  • Para um fator \mu(y) verifica-se \dfrac{1}{N}\big(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\big), que dá função dependente de x e y (não só de y). Não há fator integrante simples só em x ou só em y.
  1. Observar homogeneidade: M e N são homogêneos do mesmo grau?
  • M(x,y)=2x^{3}y tem grau 3+1=4.
  • N(x,y)=x^{4}+y^{4} tem termos de grau 4.
    Como ambos são homogêneos de grau 4, a equação é homogênea de primeira ordem. Isso sugere a substituição clássica
y=vx\quad\text{com}\quad v=v(x),
que reduz a equação a variáveis separáveis. Vou usar esse método porque transforma uma função homogênea em uma equação em v e x.

Passo 3

Aplicar a substituição y=vx. Primeiro escrevemos a equação em forma de derivada:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}.
Com y=vx temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=vx no lado direito:
-\frac{2x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}=-\frac{2x^{3}(v x)}{x^{4}+(v x)^{4}} =-\frac{2v x^{4}}{x^{4}(1+v^{4})} =-\frac{2v}{1+v^{4}}.
Portanto a equação reduzida é
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{1+v^{4}}.

Passo 4

Isolar x\frac{dv}{dx} para separar variáveis:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{1+v^{4}} - v.
Colocar em uma fração comum:
-\frac{2v}{1+v^{4}} - v = -v\Big(\frac{2}{1+v^{4}} + 1\Big) = -v\Big(\frac{2 + (1+v^{4})}{1+v^{4}}\Big) = -v\Big(\frac{3+v^{4}}{1+v^{4}}\Big).
Logo
x\frac{dv}{dx} = -v\frac{3+v^{4}}{1+v^{4}}.
Reescrevendo para separar v e x:
\frac{1+v^{4}}{v(3+v^{4})}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Antes, decompondo a função racional em v:
queremos integrar
\int \frac{1+v^{4}}{v(3+v^{4})}\,dv.
Fazemos a decomposição do tipo
\frac{1+v^{4}}{v(3+v^{4})}=\frac{A}{v}+\frac{B\,v^{3}}{3+v^{4}}.
Multiplicando por v(3+v^{4}) obtemos
1+v^{4}=A(3+v^{4})+B v^{4}.
Comparando coeficientes:
  • termo constante: 1=3A A=\tfrac{1}{3}.
  • termo v^{4}: 1=A+B B=1-A=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{1+v^{4}}{v(3+v^{4})}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v}+\frac{2}{3}\cdot\frac{v^{3}}{3+v^{4}}.
Agora integremos:
\int \frac{1+v^{4}}{v(3+v^{4})}\,dv =\frac{1}{3}\int\frac{dv}{v}+\frac{2}{3}\int\frac{v^{3}\,dv}{3+v^{4}}.
Para a segunda integral, use u=3+v^{4}, então du=4v^{3}dv e v^{3}dv=\frac{1}{4}du. Assim
\frac{2}{3}\int\frac{v^{3}\,dv}{3+v^{4}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{6}\ln|u|=\frac{1}{6}\ln|3+v^{4}|.
A primeira integral é \frac{1}{3}\ln|v|. Portanto o primitivo do lado esquerdo é
\frac{1}{3}\ln|v|+\frac{1}{6}\ln|3+v^{4}|.
Integrando o lado direito -\int \frac{dx}{x}=-\ln|x| + C. Igualando:
\frac{1}{3}\ln|v|+\frac{1}{6}\ln|3+v^{4}| = -\ln|x| + C.

Passo 6

Simplificar a expressão e voltar para y. Multiplicar a igualdade por 6 para limpar frações:
2\ln|v|+\ln|3+v^{4}| = -6\ln|x| + C_1.
Juntar os logaritmos:
\ln\big(|v|^{2}(3+v^{4})\big) = \ln\big(|x|^{-6}\big) + C_1.
Exponenciando e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante positiva C>0:
v^{2}(3+v^{4})\,x^{6}=C.
Agora substituir v=\dfrac{y}{x}:
\Big(\frac{y}{x}\Big)^{2}\Big(3+\Big(\frac{y}{x}\Big)^{4}\Big)x^{6}=C.
Fazendo as contas:
\frac{y^{2}}{x^{2}}\Big(\frac{3x^{4}+y^{4}}{x^{4}}\Big)x^{6}=C \quad\Rightarrow\quad y^{2}\big(3x^{4}+y^{4}\big)=C.
Observações sobre domínio e constantes:
  • Na dedução usamos \ln e a substituição v=y/x, então assumimos x\neq 0. As curvas obtidas pela solução implícita valem para x\neq 0; podem ser continuadas por continuidade quando possível.
  • A expressão y^{2}(3x^{4}+y^{4}) é não-negativa, então C\ge 0. O caso C=0 corresponde a y\equiv 0, que é de fato solução (verificação direta: se y=0 então x^{4}dy=0 e dy=0).

Resposta

y^{2}\big(3x^{4}+y^{4}\big)=C,\qquad C\ge 0.

Exercícios relacionados