Considere uma partícula cilíndrica de raio igual a 1 mm em contato com um solvente externo. A difusividade efetiva do soluto no sólido é
, o coeficiente convectivo externo é
e o coeficiente de partição é igual a 50 . Determine o número de Biot mássico, discuta o efeito físico de um coeficiente de partição elevado sobre a resistência global do sistema e avalie se o aumento adicional da agitação externa produziria impacto significativo na taxa global de transferência de massa.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Determinar o número de Biot mássico.
- Discutir o efeito físico de um coeficiente de partição elevado sobre a resistência global do sistema.
- Avaliar se um aumento adicional da agitação externa (isto é, aumentar
) teria impacto significativo na taxa global de transferência de massa.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
- raio da partícula:
. - difusividade efetiva no sólido:
. - coeficiente convectivo externo:
. - coeficiente de partição:
.
Passo 2
Intuição e definição do número de Biot mássico (passo didático):
- O coeficiente de partição
relaciona a concentração no sólido na superfície com a concentração do fluido imediatamente adjacente segundo a lei de partição
- A taxa de fluxo de massa por unidade de área na interface é dada pela convecção externa
onde
é a concentração no fluido distante.
- A difusão interna próxima da superfície produz o mesmo fluxo; fazendo uma estimativa grosseira da queda de concentração dentro do sólido por um comprimento característico
, a difusão interna fornece aproximadamente
onde
é uma concentração interna média (não precisamos do valor exato para a definição do Biot).
- Para comparar as resistências de transporte convectiva e difusiva internas, é útil escrever as resistências (por unidade de área) em forma inversa dos coeficientes:
- resistência convectiva:
. - resistência difusiva interna efetiva (convertendo variação de
para variação de por causa de ): .
(Explicação rápida: uma variaçãono fluido corresponde a no sólido, por isso o comprimento característico efetivo aparece multiplicado por .)
- resistência convectiva:
- O número de Biot mássico é a razão entre a resistência interna e a resistência convectiva (analogamente ao caso térmico), portanto
Esta é a fórmula que vamos usar. Ela mostra explicitamente por que
aparece:
aumenta a concentração no sólido relativa ao fluido, amplificando a resistência associada à difusão interna.
Passo 3
Cálculo numérico do número de Biot:
- Usando a fórmula
e os dados:
- Calcular passo a passo:
Passo 4
Interpretação física do resultado (
) e efeito de um
elevado:
- Um valor muito maior do que 1 (
) indica que a resistência à transferência de massa está dominada pela difusão dentro do sólido (resistência interna) e não pela convecção externa. Em outras palavras, a difusão interna é o gargalo. - Intuição sobre
: como é grande ( ), para a mesma concentração no fluido a concentração na superfície do sólido é vezes maior; isso exige um gradiente de concentração interno maior (ou seja, mais “trabalho” da difusão dentro do sólido) para transportar a mesma quantidade de soluto. Assim, um elevado aumenta a resistência interna proporcionalmente e torna o processo ainda mais controlado pela difusão interna. - Podemos também calcular um coeficiente de transferência interno equivalente (analogia prática) definido por
Este
tem as mesmas unidades de
e dá uma medida direta da “facilidade” da difusão interna vista do fluido. Calcule:
Note que
(
versus
), confirmando que a resistência interna domina.
Passo 5
Avaliação do impacto de aumentar a agitação externa (aumentar
):
- A resistência total (por unidade de área) pode ser vista como a soma das resistências em série:
onde
é o coeficiente global de transferência. Como
, a soma é dominada por
e, portanto,
.
- Quantificação do efeito (exemplo numérico): com os valores atuais
Se aumentar
em 10 vezes (
):
A variação em
é praticamente nula (diferença relativa muito pequena). Conclusão: aumentar a agitação externa (aumentar
) não terá impacto significativo na taxa global de transferência de massa enquanto a resistência interna permanecer muito maior que a externa.
- O que realmente reduziria a resistência global seria aumentar
(ex.: aquecimento, modificação da microestrutura do sólido), reduzir (partículas menores) ou reduzir (alterar as afinidades de partição) — medidas que atuam sobre .
Passo 6
Recapitulando de forma prática (e um empurrão de ânimo): o número de Biot é muito grande (
), o que diz “a corrida é da difusão interna” — mexer só na agitação externa é como empurrar uma fila já parada: pouco efeito. Para melhorar a velocidade global, é melhor agir sobre a difusividade, o tamanho da partícula ou a própria partição.
Resposta
Um coeficiente de partição elevado (
Aumentar a agitação externa (aumentar