Considere uma partícula cilíndrica de raio igual a 1 mm em contato com um solvente externo. A difusividade efetiva do soluto no sólido é 1 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, o coeficiente convectivo externo é 1 \times 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o coeficiente de partição é igual a 50 . Determine o número de Biot mássico, discuta o efeito físico de um coeficiente de partição elevado sobre a resistência global do sistema e avalie se o aumento adicional da agitação externa produziria impacto significativo na taxa global de transferência de massa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Determinar o número de Biot mássico.
  • Discutir o efeito físico de um coeficiente de partição elevado sobre a resistência global do sistema.
  • Avaliar se um aumento adicional da agitação externa (isto é, aumentar k) teria impacto significativo na taxa global de transferência de massa.
Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
  • raio da partícula: R=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • difusividade efetiva no sólido: D_e=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • coeficiente convectivo externo: k=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • coeficiente de partição: K=50.

Passo 2

Intuição e definição do número de Biot mássico (passo didático):
  • O coeficiente de partição K relaciona a concentração no sólido na superfície C_s com a concentração do fluido imediatamente adjacente C_{f,s} segundo a lei de partição
C_s = K\,C_{f,s}.
  • A taxa de fluxo de massa por unidade de área na interface é dada pela convecção externa
J = k\bigl(C_{f,\infty} - C_{f,s}\bigr),
onde C_{f,\infty} é a concentração no fluido distante.
  • A difusão interna próxima da superfície produz o mesmo fluxo; fazendo uma estimativa grosseira da queda de concentração dentro do sólido por um comprimento característico R, a difusão interna fornece aproximadamente
J \approx \frac{D_e\,(C_s - C_{\text{int}})}{R},
onde C_{\text{int}} é uma concentração interna média (não precisamos do valor exato para a definição do Biot).
  • Para comparar as resistências de transporte convectiva e difusiva internas, é útil escrever as resistências (por unidade de área) em forma inversa dos coeficientes:
    • resistência convectiva: \displaystyle R_{\text{conv}}=\frac{1}{k}.
    • resistência difusiva interna efetiva (convertendo variação de C_f para variação de C_s por causa de K): \displaystyle R_{\text{int}}\sim\frac{R}{D_e/K}=\frac{R\,K}{D_e}.
      (Explicação rápida: uma variação \Delta C_f no fluido corresponde a \Delta C_s=K\Delta C_f no sólido, por isso o comprimento característico efetivo aparece multiplicado por K.)
  • O número de Biot mássico é a razão entre a resistência interna e a resistência convectiva (analogamente ao caso térmico), portanto
\mathrm{Bi}=\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{conv}}}=\frac{\dfrac{R\,K}{D_e}}{\dfrac{1}{k}}=\frac{k\,R\,K}{D_e}.
Esta é a fórmula que vamos usar. Ela mostra explicitamente por que K aparece: K aumenta a concentração no sólido relativa ao fluido, amplificando a resistência associada à difusão interna.

Passo 3

Cálculo numérico do número de Biot:
  • Usando a fórmula \displaystyle \mathrm{Bi}=\frac{k\,R\,K}{D_e} e os dados:
\mathrm{Bi}=\frac{\left(1\times10^{-4}\right)\left(1\times10^{-3}\right)\left(50\right)}{1\times10^{-9}}.
  • Calcular passo a passo:
kR = 1\times10^{-4}\times1\times10^{-3}=1\times10^{-7},
kR K = 1\times10^{-7}\times50=5\times10^{-6},
\mathrm{Bi}=\frac{5\times10^{-6}}{1\times10^{-9}}=5\times10^{3}=5000.

Passo 4

Interpretação física do resultado ( \mathrm{Bi}=5000) e efeito de um K elevado:
  • Um valor muito maior do que 1 ( \mathrm{Bi}\gg1) indica que a resistência à transferência de massa está dominada pela difusão dentro do sólido (resistência interna) e não pela convecção externa. Em outras palavras, a difusão interna é o gargalo.
  • Intuição sobre K: como K é grande ( K=50), para a mesma concentração no fluido a concentração na superfície do sólido é 50 vezes maior; isso exige um gradiente de concentração interno maior (ou seja, mais “trabalho” da difusão dentro do sólido) para transportar a mesma quantidade de soluto. Assim, um K elevado aumenta a resistência interna proporcionalmente e torna o processo ainda mais controlado pela difusão interna.
  • Podemos também calcular um coeficiente de transferência interno equivalente (analogia prática) definido por
k_{\text{int}}=\frac{D_e}{R\,K}.
Este k_{\text{int}} tem as mesmas unidades de k e dá uma medida direta da “facilidade” da difusão interna vista do fluido. Calcule:
k_{\text{int}}=\frac{1\times10^{-9}}{(1\times10^{-3})\times50}=\frac{1\times10^{-9}}{5\times10^{-2}}=2\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s}.
Note que k_{\text{int}}\ll k ( 2\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s} versus 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s} ), confirmando que a resistência interna domina.

Passo 5

Avaliação do impacto de aumentar a agitação externa (aumentar k):
  • A resistência total (por unidade de área) pode ser vista como a soma das resistências em série:
\frac{1}{k_{\text{tot}}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k_{\text{int}}},
onde k_{\text{tot}} é o coeficiente global de transferência. Como k_{\text{int}}\ll k, a soma é dominada por 1/k_{\text{int}} e, portanto, k_{\text{tot}}\approx k_{\text{int}}.
  • Quantificação do efeito (exemplo numérico): com os valores atuais
k_{\text{tot}}=\frac{k\,k_{\text{int}}}{k+k_{\text{int}}}\approx\frac{(1\times10^{-4})(2\times10^{-8})}{1\times10^{-4}+2\times10^{-8}}\approx1{,}9996\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s}\approx2{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s}.
Se aumentar k em 10 vezes ( k=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}):
k_{\text{tot,new}}\approx\frac{(1\times10^{-3})(2\times10^{-8})}{1\times10^{-3}+2\times10^{-8}}\approx1{,}99996\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s}.
A variação em k_{\text{tot}} é praticamente nula (diferença relativa muito pequena). Conclusão: aumentar a agitação externa (aumentar k) não terá impacto significativo na taxa global de transferência de massa enquanto a resistência interna permanecer muito maior que a externa.
  • O que realmente reduziria a resistência global seria aumentar D_e (ex.: aquecimento, modificação da microestrutura do sólido), reduzir R (partículas menores) ou reduzir K (alterar as afinidades de partição) — medidas que atuam sobre k_{\text{int}}.

Passo 6

Recapitulando de forma prática (e um empurrão de ânimo): o número de Biot é muito grande ( 5000), o que diz “a corrida é da difusão interna” — mexer só na agitação externa é como empurrar uma fila já parada: pouco efeito. Para melhorar a velocidade global, é melhor agir sobre a difusividade, o tamanho da partícula ou a própria partição.

Resposta

\mathrm{Bi}=5000
Um coeficiente de partição elevado ( K=50) aumenta a resistência interna à difusão, ampliando a contribuição da resistência do sólido para a resistência global (torna o processo controlado pela difusão interna).
Aumentar a agitação externa (aumentar k) produziria impacto insignificante na taxa global de transferência de massa, pois o coeficiente interno equivalente k_{\text{int}}=2\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s} é muito menor que k, de modo que k_{\text{tot}}\approx k_{\text{int}}.

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