Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72,0 \mathrm{km} / \mathrm{h} e o outro a 144 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Quando estão a 950 m um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os freios. O primeiro trem consegue desacelerar a 0,600 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e o outro a 1,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Determine o tempo que o primeiro trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
b) Determine a distância percorrida pelo primeiro trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
c) Determine o tempo que o segundo trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado
d) Determine a distância percorrida pelo segundo trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
e) Considerando que os trens estão no mesmo trilho, eles bateriam?

Passo 1

Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Velocidade do primeiro trem: v_{1,0}=72,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do segundo trem: v_{2,0}=144\\ \mathrm{km/h}.
  • Separação inicial entre eles: s_0=950\\ \mathrm{m}.
  • Desaceleração (módulo) do primeiro trem: a_1=0,600\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Desaceleração (módulo) do segundo trem: a_2=1,15\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
(a) Tempo que o primeiro trem leva para frear completamente (supondo trilhos separados).
(b) Distância percorrida pelo primeiro trem até parar (trilhos separados).
(c) Tempo que o segundo trem leva para frear completamente (trilhos separados).
(d) Distância percorrida pelo segundo trem até parar (trilhos separados).
(e) Se estivessem no mesmo trilho, eles bateriam?
Observação: os tempos e distâncias de frenagem dependem de converter as velocidades para \mathrm{m/s}. A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Converter velocidades de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}.
Fórmula de conversão: multiplicar por \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{1}{3,6}.
Calcular:
v_{1,0} = 72,0\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{72,0}{3,6}\\ \mathrm{m/s} = 20\\ \mathrm{m/s}.
v_{2,0} = 144\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{144}{3,6}\\ \mathrm{m/s} = 40\\ \mathrm{m/s}.
Agora temos v_{1,0}=20\\ \mathrm{m/s} e v_{2,0}=40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Lembrar a física básica do movimento retilíneo com desaceleração constante (movimento uniformemente retardado).
Fórmulas úteis (constante desaceleração a>0 que reduz a velocidade):
  • Tempo até parar: t=\dfrac{v_0}{a},
onde v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}) e a é a desaceleração (em \mathrm{m/s^2}). Explicando: a velocidade varia como v(t)=v_0-at; para parar v(t)=0\Rightarrow t=v_0/a.
  • Distância de frenagem: duas formas equivalentes:
    1. Integrando x(t)=v_0 t-\tfrac{1}{2} a t^2 até o tempo de parada.
    2. Fórmula direta sem precisar do tempo: d=\dfrac{v_0^2}{2a}.
Explicando a segunda: vem de v^2=v_0^2-2a(x-x_0); impondo v=0 obtém-se d=(v_0^2)/(2a). Aqui d é a distância percorrida até parar.
Vou aplicar essas fórmulas aos dois trens.

Passo 4

Calcular tempo e distância de frenagem do primeiro trem.
Dados do primeiro trem: v_{1,0}=20\\ \mathrm{m/s}, a_1=0,600\\ \mathrm{m/s^2}.
Tempo até parar:
t_1=\dfrac{v_{1,0}}{a_1}=\dfrac{20}{0,600}=\dfrac{20}{0,6}=\dfrac{200}{6}=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx 33,333\\ \mathrm{s}.
(Valor exato t_1=100/3\\ \mathrm{s}; arredondando: t_1\approx33,33\\ \mathrm{s}.)
Distância de frenagem (fórmula direta):
d_1=\dfrac{v_{1,0}^2}{2a_1}=\dfrac{20^2}{2\cdot 0,600}=\dfrac{400}{1,200}=\dfrac{4000}{12}=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{m}\approx333,333\\ \mathrm{m}.
(Arredondando: d_1\approx333,33\\ \mathrm{m}.)
Também poderia verificar usando d_1=v_{1,0}t_1-\tfrac{1}{2}a_1 t_1^2; dá o mesmo resultado.

Passo 5

Calcular tempo e distância de frenagem do segundo trem.
Dados do segundo trem: v_{2,0}=40\\ \mathrm{m/s}, a_2=1,15\\ \mathrm{m/s^2}.
Tempo até parar:
t_2=\dfrac{v_{2,0}}{a_2}=\dfrac{40}{1,15}\\ \mathrm{s}\approx 34,7826087\\ \mathrm{s}.
(Arredondando: t_2\approx34,78\\ \mathrm{s}.)
Distância de frenagem:
d_2=\dfrac{v_{2,0}^2}{2a_2}=\dfrac{40^2}{2\cdot 1,15}=\dfrac{1600}{2,30}\\ \mathrm{m}\approx695,6521739\\ \mathrm{m}.
(Arredondando: d_2\approx695,65\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Verificar se, estando no mesmo trilho, haveria colisão: comparar soma das distâncias de frenagem com a separação inicial.
Se os trens estiverem em trilhos separados, cada um precisa de d_1 e d_2 para parar; se estiverem no mesmo trilho e começarem a frear no mesmo instante, a condição para NÃO colidirem é:
d_1+d_2 \le s_0.
Calcular a soma:
d_1+d_2 \approx 333,333\\ \mathrm{m} + 695,652\\ \mathrm{m} \approx 1\,028,985\\ \mathrm{m}.
Como d_1+d_2 \approx 1\,028,985\\ \mathrm{m} > s_0=950\\ \mathrm{m}, a soma das distâncias de frenagem é maior que a distância inicial entre os trens. Portanto, eles não conseguiriam parar antes de se encontrarem — ou seja, haveria colisão.

Passo 7

(Complemento — quando a colisão aconteceria? — explicação didática e cálculo, útil para a prova.)
Modelar o movimento relativo: considerar a distância entre eles s(t). Como se aproximam um do outro, a velocidade relativa inicial é
v_{r,0}=v_{1,0}+v_{2,0}=20+40=60\\ \mathrm{m/s}.
As desacelerações afastam essa velocidade relativa a uma taxa (módulo) igual à soma das desacelerações:
a_r = a_1 + a_2 = 0,600 + 1,15 = 1,75\\ \mathrm{m/s^2}.
A equação da separação é (o sinal é escolhido para que s diminua inicialmente):
s(t)=s_0 - v_{r,0} t + \tfrac{1}{2} a_r t^2.
Colisão ocorre quando s(t)=0. Assim resolvemos:
0 = s_0 - v_{r,0} t + \tfrac{1}{2} a_r t^2
ou
\tfrac{1}{2} a_r t^2 - v_{r,0} t + s_0 = 0.
Substituindo números:
0,875\, t^2 - 60\, t + 950 = 0,
onde 0,875=\tfrac{1}{2}\cdot 1,75.
Resolver a quadrática (usar a fórmula de Bhaskara). O discriminante é positivo e as duas raízes positivas; a menor raiz é o instante físico da colisão (antes das paradas individuais). Calculando, obtém-se
t_{\text{col}} \approx 24,81\\ \mathrm{s}.
Comparar com os tempos de parada: t_{\text{col}}\approx24,81\\ \mathrm{s} é menor que t_1\approx33,33\\ \mathrm{s} e t_2\approx34,78\\ \mathrm{s}. Logo a colisão ocorre antes que qualquer trem pare — confirmação numérica do item (e).

Resposta

(a) t_1=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx 33,33\\ \mathrm{s}
(b) d_1=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{m}\approx 333,33\\ \mathrm{m}
(c) t_2=\dfrac{40}{1,15}\\ \mathrm{s}\approx 34,78\\ \mathrm{s}
(d) d_2=\dfrac{1600}{2{,}30}\\ \mathrm{m}\approx 695,65\\ \mathrm{m}
(e) Sim, bateriam — a soma das distâncias de frenagem é aproximadamente 1\,028{,}99\\ \mathrm{m}, maior que 950\\ \mathrm{m}; a colisão ocorreria por volta de t\approx24{,}81\\ \mathrm{s}.

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