Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72,0
e o outro a
. Quando estão a 950 m um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os freios. O primeiro trem consegue desacelerar a
e o outro a
.
a) Determine o tempo que o primeiro trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
b) Determine a distância percorrida pelo primeiro trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
c) Determine o tempo que o segundo trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado
d) Determine a distância percorrida pelo segundo trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
e) Considerando que os trens estão no mesmo trilho, eles bateriam?
a) Determine o tempo que o primeiro trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
b) Determine a distância percorrida pelo primeiro trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
c) Determine o tempo que o segundo trem leva para frear completamente, supondo que está em um trilho separado
d) Determine a distância percorrida pelo segundo trem para frear completamente, supondo que está em um trilho separado.
e) Considerando que os trens estão no mesmo trilho, eles bateriam?
Passo 1
Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
- Velocidade do primeiro trem:
. - Velocidade do segundo trem:
. - Separação inicial entre eles:
. - Desaceleração (módulo) do primeiro trem:
. - Desaceleração (módulo) do segundo trem:
.
Perguntas:
(a) Tempo que o primeiro trem leva para frear completamente (supondo trilhos separados).
(b) Distância percorrida pelo primeiro trem até parar (trilhos separados).
(c) Tempo que o segundo trem leva para frear completamente (trilhos separados).
(d) Distância percorrida pelo segundo trem até parar (trilhos separados).
(e) Se estivessem no mesmo trilho, eles bateriam?
(a) Tempo que o primeiro trem leva para frear completamente (supondo trilhos separados).
(b) Distância percorrida pelo primeiro trem até parar (trilhos separados).
(c) Tempo que o segundo trem leva para frear completamente (trilhos separados).
(d) Distância percorrida pelo segundo trem até parar (trilhos separados).
(e) Se estivessem no mesmo trilho, eles bateriam?
Observação: os tempos e distâncias de frenagem dependem de converter as velocidades para
. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Converter velocidades de
para
.
Fórmula de conversão: multiplicar por
.
Calcular:
Agora temos
e
.
Passo 3
Lembrar a física básica do movimento retilíneo com desaceleração constante (movimento uniformemente retardado).
Fórmulas úteis (constante desaceleração
que reduz a velocidade):
- Tempo até parar:
onde
é a velocidade inicial (em
) e
é a desaceleração (em
). Explicando: a velocidade varia como
; para parar
.
- Distância de frenagem: duas formas equivalentes:
- Integrando
até o tempo de parada. - Fórmula direta sem precisar do tempo:
- Integrando
Explicando a segunda: vem de
; impondo
obtém-se
. Aqui
é a distância percorrida até parar.
Vou aplicar essas fórmulas aos dois trens.
Passo 4
Calcular tempo e distância de frenagem do primeiro trem.
Dados do primeiro trem:
,
.
Tempo até parar:
(Valor exato
; arredondando:
.)
Distância de frenagem (fórmula direta):
(Arredondando:
.)
Também poderia verificar usando
; dá o mesmo resultado.
Passo 5
Calcular tempo e distância de frenagem do segundo trem.
Dados do segundo trem:
,
.
Tempo até parar:
(Arredondando:
.)
Distância de frenagem:
(Arredondando:
.)
Passo 6
Verificar se, estando no mesmo trilho, haveria colisão: comparar soma das distâncias de frenagem com a separação inicial.
Se os trens estiverem em trilhos separados, cada um precisa de
e
para parar; se estiverem no mesmo trilho e começarem a frear no mesmo instante, a condição para NÃO colidirem é:
Calcular a soma:
Como
, a soma das distâncias de frenagem é maior que a distância inicial entre os trens. Portanto, eles não conseguiriam parar antes de se encontrarem — ou seja, haveria colisão.
Passo 7
(Complemento — quando a colisão aconteceria? — explicação didática e cálculo, útil para a prova.)
Modelar o movimento relativo: considerar a distância entre eles
. Como se aproximam um do outro, a velocidade relativa inicial é
As desacelerações afastam essa velocidade relativa a uma taxa (módulo) igual à soma das desacelerações:
A equação da separação é (o sinal é escolhido para que
diminua inicialmente):
Colisão ocorre quando
. Assim resolvemos:
ou
Substituindo números:
onde
.
Resolver a quadrática (usar a fórmula de Bhaskara). O discriminante é positivo e as duas raízes positivas; a menor raiz é o instante físico da colisão (antes das paradas individuais). Calculando, obtém-se
Comparar com os tempos de parada:
é menor que
e
. Logo a colisão ocorre antes que qualquer trem pare — confirmação numérica do item (e).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Sim, bateriam — a soma das distâncias de frenagem é aproximadamente , maior que
; a colisão ocorreria por volta de
.
(b)
(c)
(d)
(e) Sim, bateriam — a soma das distâncias de frenagem é aproximadamente