Questão 4 ( 2,0 pontos):
Um objeto e uma tela se encontram a uma distância
. Uma lente convergente de comprimento focal
é colocada entre o objeto e a tela de modo a conjugar ao objeto uma imagem real do mesmo na tela. (a) Encontre a variação da razão entre os tamanhos das duas possíveis imagens a serem observadas na tela se a distância
for reduzida a um quarto. (b) Determine a variação da distância entre as duas possíveis posições para a lente caso a distância
seja reduzida pela metade.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- A distância entre o objeto e a tela é
. - Uma lente convergente de distância focal
é colocada entre objeto e tela de modo que a imagem real do objeto caia exatamente na tela. - Para essa configuração existem duas posições possíveis da lente que formam imagem na tela (posição “próxima do objeto” e posição “próxima da tela”).
- A distância entre o objeto e a tela é
-
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a variação da razão entre os tamanhos das duas possíveis imagens observadas na tela quando a distância focal
é reduzida para um quarto, isto é, . (Interpreto “variação da razão” como determinar como a razão entre os tamanhos muda — conveniente apresentar a expressão inicial da razão e a nova razão para , e também a razão entre elas.) - (b) Determinar a variação da distância entre as duas possíveis posições para a lente quando a distância
é reduzida à metade, isto é, . (Interpreto “variação da distância entre as duas posições” como o incremento , onde é a separação original entre as duas posições e a nova separação.)
- (a) Calcular a variação da razão entre os tamanhos das duas possíveis imagens observadas na tela quando a distância focal
Passo 2
Fórmulas fundamentais e montagem da equação que descreve as posições possíveis da lente.
- Para uma lente delgada vale a equação dos pontos conjugados:
onde
é a distância objeto–lente e
a distância lente–imagem.
- Como o objeto e a tela estão separados por
, quando a imagem está na tela temos
- Substituindo
na equação da lente:
- Isto dá uma equação quadrática para
:
Passo 3
Resolver a quadrática e interpretar as duas soluções (as duas posições da lente).
- As raízes da quadrática são
Chamo
a solução com o sinal menos (posição mais próxima do objeto) e
a com o sinal mais (posição mais próxima da tela).
- Observação importante sobre existência das duas posições: para que as raízes sejam reais (ou seja, existam duas posições físicas distintas) é necessário
Se
então não há duas posições reais que formem imagem na tela.
Passo 4
Expressar a ampliação (razão de tamanhos) para cada posição e a razão entre as duas imagens.
- A ampliação (linear) para uma imagem real é
Tomaremos as magnitudes
quando falar de tamanhos.
- Para as duas posições
e obtemos as duas ampliações (em magnitude)
Assim as ampliações são reciprocamente inversas:
.
- A razão entre os tamanhos das duas imagens (tomo como razão maior sobre menor) é
Passo 5
Escrever
explicitamente em função de
e
.
- Defina
Então
- Logo a razão entre as distâncias é
e a razão entre os tamanhos das duas imagens é
Passo 6
Responder (a): variação da razão quando
é reduzida a um quarto (
).
- Para
calcule :
- A nova razão entre tamanhos será
- A variação multiplicativa (fator de mudança) da razão é
onde
e
.
- Comentário prático (importantinho): as expressões acima são válidas desde que as quantidades dentro das raízes sejam não-negativas, i.e.
(existência das duas posições inicialmente) e (existência das duas posições após a alteração). Se uma dessas desigualdades falhar, a situação física muda (pode não haver duas posições reais).
Passo 7
Responder (b): variação da distância entre as duas posições da lente quando
é reduzida à metade.
- A separação entre as duas posições da lente originalmente é
- Se
passa a , a nova separação é
- A variação da distância entre as posições (diferença) é
- Novamente é preciso checar existência física: para existirem as duas posições inicialmente requer
. Após a redução, para existirem duas posições com é necessário , isto é
Se
então, ao reduzir
pela metade, pode deixar de existir duas posições reais para a lente (nenhuma ou apenas uma), e aí a fórmula acima perde o significado físico.
Resposta
(a) A razão original entre tamanhos é
.
A razão após reduzir a
é
.
O fator de mudança é .
A razão após reduzir
O fator de mudança é
(b) A separação original entre as duas posições é
.
Com reduzido à metade a nova separação é
.
A variação é
Com
A variação é