Questão 4 ( 2,0 pontos):

Um objeto e uma tela se encontram a uma distância D. Uma lente convergente de comprimento focal f é colocada entre o objeto e a tela de modo a conjugar ao objeto uma imagem real do mesmo na tela. (a) Encontre a variação da razão entre os tamanhos das duas possíveis imagens a serem observadas na tela se a distância f for reduzida a um quarto. (b) Determine a variação da distância entre as duas possíveis posições para a lente caso a distância D seja reduzida pela metade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A distância entre o objeto e a tela é D.
    • Uma lente convergente de distância focal f é colocada entre objeto e tela de modo que a imagem real do objeto caia exatamente na tela.
    • Para essa configuração existem duas posições possíveis da lente que formam imagem na tela (posição “próxima do objeto” e posição “próxima da tela”).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular a variação da razão entre os tamanhos das duas possíveis imagens observadas na tela quando a distância focal f é reduzida para um quarto, isto é, f \to f/4. (Interpreto “variação da razão” como determinar como a razão entre os tamanhos muda — conveniente apresentar a expressão inicial da razão e a nova razão para f/4, e também a razão entre elas.)
    • (b) Determinar a variação da distância entre as duas possíveis posições para a lente quando a distância D é reduzida à metade, isto é, D \to D/2. (Interpreto “variação da distância entre as duas posições” como o incremento \Delta = \delta' - \delta, onde \delta é a separação original entre as duas posições e \delta' a nova separação.)

Passo 2

Fórmulas fundamentais e montagem da equação que descreve as posições possíveis da lente.
  • Para uma lente delgada vale a equação dos pontos conjugados:
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},
onde d_o é a distância objeto–lente e d_i a distância lente–imagem.
  • Como o objeto e a tela estão separados por D, quando a imagem está na tela temos
d_o + d_i = D.
  • Substituindo d_i = D - d_o na equação da lente:
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{D - d_o} = \frac{D}{d_o(D - d_o)}.
  • Isto dá uma equação quadrática para d_o:
d_o(D - d_o) = D f \quad\Longrightarrow\quad d_o^2 - D d_o + D f = 0.

Passo 3

Resolver a quadrática e interpretar as duas soluções (as duas posições da lente).
  • As raízes da quadrática são
d_{1,2} = \frac{D \pm \sqrt{D^2 - 4 D f}}{2}.
Chamo d_1 a solução com o sinal menos (posição mais próxima do objeto) e d_2 a com o sinal mais (posição mais próxima da tela).
  • Observação importante sobre existência das duas posições: para que as raízes sejam reais (ou seja, existam duas posições físicas distintas) é necessário
D^2 - 4 D f \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad D \ge 4 f.
Se D<4f então não há duas posições reais que formem imagem na tela.

Passo 4

Expressar a ampliação (razão de tamanhos) para cada posição e a razão entre as duas imagens.
  • A ampliação (linear) para uma imagem real é
m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{D - d_o}{d_o}.
Tomaremos as magnitudes |m| quando falar de tamanhos.
  • Para as duas posições d_1 e d_2 obtemos as duas ampliações (em magnitude)
|m_1| = \frac{D - d_1}{d_1} = \frac{d_2}{d_1}, \qquad |m_2| = \frac{D - d_2}{d_2} = \frac{d_1}{d_2}.
Assim as ampliações são reciprocamente inversas: |m_1| = 1/|m_2|.
  • A razão entre os tamanhos das duas imagens (tomo como razão maior sobre menor) é
R \equiv \frac{\text{tamanho da imagem em }d_2}{\text{tamanho da imagem em }d_1} = \frac{|m_1|}{|m_2|} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2.

Passo 5

Escrever R explicitamente em função de D e f.
  • Defina
\mathcal{S} \equiv \sqrt{D^2 - 4 D f}.
Então
d_1 = \frac{D - \mathcal{S}}{2},\qquad d_2 = \frac{D + \mathcal{S}}{2}.
  • Logo a razão entre as distâncias é
\frac{d_2}{d_1} = \frac{D + \mathcal{S}}{D - \mathcal{S}},
e a razão entre os tamanhos das duas imagens é
R = \left(\frac{D + \mathcal{S}}{D - \mathcal{S}}\right)^2, \quad\text{onde}\quad \mathcal{S} = \sqrt{D^2 - 4 D f}.

Passo 6

Responder (a): variação da razão quando f é reduzida a um quarto ( f\to f/4).
  • Para f' = f/4 calcule \mathcal{S}':
\mathcal{S}' = \sqrt{D^2 - 4 D f'} = \sqrt{D^2 - 4 D \cdot \frac{f}{4}} = \sqrt{D^2 - D f}.
  • A nova razão entre tamanhos será
R' = \left(\frac{D + \mathcal{S}'}{D - \mathcal{S}'}\right)^2, \quad\text{onde}\quad \mathcal{S}' = \sqrt{D^2 - D f}.
  • A variação multiplicativa (fator de mudança) da razão é
\frac{R'}{R} = \left(\frac{D + \mathcal{S}'}{D - \mathcal{S}'} \cdot \frac{D - \mathcal{S}}{D + \mathcal{S}}\right)^2 = \left(\frac{(D + \mathcal{S}')(D - \mathcal{S})}{(D - \mathcal{S}')(D + \mathcal{S})}\right)^2,
onde \mathcal{S}=\sqrt{D^2-4Df} e \mathcal{S}'=\sqrt{D^2-Df}.
  • Comentário prático (importantinho): as expressões acima são válidas desde que as quantidades dentro das raízes sejam não-negativas, i.e. D^2-4Df\ge0 (existência das duas posições inicialmente) e D^2-Df\ge0 (existência das duas posições após a alteração). Se uma dessas desigualdades falhar, a situação física muda (pode não haver duas posições reais).

Passo 7

Responder (b): variação da distância entre as duas posições da lente quando D é reduzida à metade.
  • A separação entre as duas posições da lente originalmente é
\delta = d_2 - d_1 = \mathcal{S} = \sqrt{D^2 - 4 D f}.
  • Se D passa a D' = D/2, a nova separação é
\delta' = \sqrt{(D')^2 - 4 D' f} = \sqrt{\frac{D^2}{4} - 2 D f}.
  • A variação da distância entre as posições (diferença) é
\Delta = \delta' - \delta = \sqrt{\frac{D^2}{4} - 2 D f} \;-\; \sqrt{D^2 - 4 D f}.
  • Novamente é preciso checar existência física: para existirem as duas posições inicialmente requer D^2-4Df\ge0. Após a redução, para existirem duas posições com D'=D/2 é necessário (D')^2-4D'f\ge0, isto é
\frac{D^2}{4} - 2 D f \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad D \ge 8 f.
Se D<8f então, ao reduzir D pela metade, pode deixar de existir duas posições reais para a lente (nenhuma ou apenas uma), e aí a fórmula acima perde o significado físico.

Resposta

(a) A razão original entre tamanhos é \displaystyle R=\left(\dfrac{D+\sqrt{D^2-4Df}}{D-\sqrt{D^2-4Df}}\right)^2.
A razão após reduzir f a f/4 é \displaystyle R'=\left(\dfrac{D+\sqrt{D^2-Df}}{D-\sqrt{D^2-Df}}\right)^2.
O fator de mudança é \displaystyle \frac{R'}{R}=\left(\frac{(D+\sqrt{D^2-Df})(D-\sqrt{D^2-4Df})}{(D-\sqrt{D^2-Df})(D+\sqrt{D^2-4Df})}\right)^2.
(b) A separação original entre as duas posições é \displaystyle \delta=\sqrt{D^2-4Df}.
Com D reduzido à metade a nova separação é \displaystyle \delta'=\sqrt{\frac{D^2}{4}-2Df}.
A variação é \displaystyle \Delta=\delta'-\delta=\sqrt{\frac{D^2}{4}-2Df}-\sqrt{D^2-4Df}.

Exercícios relacionados