A posição de um corpo varia segundo a equação
. Determine:
a) O valor de x (em metros) quando
b) O valor de x (em metros) quando
c) Sua velocidade média entre 2 e 3 segundos
d) A equação de sua velocidade instantânea
e) Sua aceleração no instante
a) O valor de x (em metros) quando
b) O valor de x (em metros) quando
c) Sua velocidade média entre 2 e 3 segundos
d) A equação de sua velocidade instantânea
e) Sua aceleração no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo pela expressão
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
a) Determinar quando
.
b) Determinar quando
.
c) Calcular a velocidade média entre e
.
d) Encontrar a equação da velocidade instantânea .
e) Calcular a aceleração no instante .
a) Determinar
b) Determinar
c) Calcular a velocidade média entre
d) Encontrar a equação da velocidade instantânea
e) Calcular a aceleração no instante
Passo 2
Parte (a): avaliar a função posição em
. Para isso substitui-se
na expressão de
. Lembrando que
, temos:
Portanto o valor da posição em
é
metros.
Passo 3
Parte (b): avaliar a função posição em
. Substitui-se
. Observa-se que
, então:
Portanto a posição em
é
metros.
Passo 4
Parte (c): definição e cálculo da velocidade média. A velocidade média entre dois instantes
e
é dada por
que é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo (unidade:
). Aqui
e
. Primeiro calculamos
substituindo
:
Agora a velocidade média entre 2 e 3 s é
Logo a velocidade média no intervalo de
a
segundos é
.
Passo 5
Parte (d): conceito e cálculo da velocidade instantânea. A velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Breve explicação didática: derivada significa a taxa instantânea de variação — pense como a inclinação da curva
num dado instante. Regras usadas:
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
(com constante) é . - A derivada de
é (regra da cadeia).
Aplicando isso a
:
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Parte (e): aceleração como derivada da velocidade. A aceleração instantânea
é a derivada de
:
Derivando
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Logo a aceleração geral é
Agora avaliamos em
:
A aceleração no instante
é
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)