A posição de um corpo varia segundo a equação x(t)=50+10 t+(t-2)^{3}. Determine:
a) O valor de x (em metros) quando \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}
b) O valor de x (em metros) quando \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}
c) Sua velocidade média entre 2 e 3 segundos
d) A equação de sua velocidade instantânea
e) Sua aceleração no instante t=3,0 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo pela expressão
x(t)=50+10\,t+(t-2)^{3},
com x em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Determinar x quando t=0\\ \mathrm{s}.
b) Determinar x quando t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
c) Calcular a velocidade média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=3\\ \mathrm{s}.
d) Encontrar a equação da velocidade instantânea v(t).
e) Calcular a aceleração no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Parte (a): avaliar a função posição em t=0. Para isso substitui-se t=0 na expressão de x(t). Lembrando que (0-2)^{3}=(-2)^{3}=-8, temos:
x(0)=50+10\cdot 0+(-2)^{3}=50+0-8=42.
Portanto o valor da posição em t=0 é 42 metros.

Passo 3

Parte (b): avaliar a função posição em t=2{,}0. Substitui-se t=2. Observa-se que (2-2)^{3}=0, então:
x(2)=50+10\cdot 2+0=50+20=70.
Portanto a posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s} é 70 metros.

Passo 4

Parte (c): definição e cálculo da velocidade média. A velocidade média entre dois instantes t_1 e t_2 é dada por
\bar{v}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},
que é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo (unidade: \mathrm{m/s}). Aqui t_1=2 e t_2=3. Primeiro calculamos x(3) substituindo t=3:
x(3)=50+10\cdot 3+(3-2)^{3}=50+30+1=81.
Agora a velocidade média entre 2 e 3 s é
\bar{v}=\frac{x(3)-x(2)}{3-2}=\frac{81-70}{1}=11.
Logo a velocidade média no intervalo de 2 a 3 segundos é 11\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Parte (d): conceito e cálculo da velocidade instantânea. A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Breve explicação didática: derivada significa a taxa instantânea de variação — pense como a inclinação da curva x(t) num dado instante. Regras usadas:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de a t (com a constante) é a.
  • A derivada de u(t)^{3} é 3\,u(t)^{2}\cdot u'(t) (regra da cadeia).
Aplicando isso a x(t)=50+10t+(t-2)^{3}:
  • derivada de 50 é 0;
  • derivada de 10t é 10;
  • derivada de (t-2)^{3} é 3(t-2)^{2}\cdot 1=3(t-2)^{2}.
Portanto
v(t)=10+3(t-2)^{2}.

Passo 6

Parte (e): aceleração como derivada da velocidade. A aceleração instantânea a(t) é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Derivando v(t)=10+3(t-2)^{2}:
  • derivada de 10 é 0;
  • derivada de 3(t-2)^{2} é 3\cdot 2(t-2)\cdot 1 =6(t-2).
Logo a aceleração geral é
a(t)=6(t-2).
Agora avaliamos em t=3{,}0:
a(3)=6(3-2)=6\cdot 1=6.
A aceleração no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s} é 6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) x(0)=42\\ \mathrm{m}
b) x(2{,}0)=70\\ \mathrm{m}
c) \bar{v}_{2\to3}=11\\ \mathrm{m/s}
d) v(t)=10+3(t-2)^{2}
e) a(3{,}0)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}

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