Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidade de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 510 Hz , quando estão se aproximando, e 380 Hz , quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de
. Qual é a velocidade dos trens (em
)? Qual é a frequência do apito no seu referencial?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois trens indo em sentidos opostos, cada um com velocidade igual (vamos chamar de
). Um trenzinho está apitando com frequência própria
, e o passageiro do outro percebe 510 Hz quando se aproximam e 380 Hz quando se afastam. A velocidade do som vale
.
Conteúdo: efeito Doppler para fonte e observador em movimento. Pra resolver, a gente vai precisar das fórmulas do Doppler quando tanto fonte quanto observador estão se mexendo no ar, e um pouco de álgebra básica pra isolar e
.
Conteúdo: efeito Doppler para fonte e observador em movimento. Pra resolver, a gente vai precisar das fórmulas do Doppler quando tanto fonte quanto observador estão se mexendo no ar, e um pouco de álgebra básica pra isolar
Passo 2
Teoria:
Quando fonte e observador se aproximam, a frequência percebida é
Quando fonte e observador se aproximam, a frequência percebida é
Quando se afastam, é
Aqui observador e fonte têm a mesma velocidade
, só em direções opostas. Então:
Passo 3
Primeiro eu calculo
sem nem mexer em
. Repare que
Logo
$$f_0 = \sqrt{f_1,f_2} = \sqrt{510\cdot380}\ \mathrm{Hz}
= \sqrt{193800}\ \mathrm{Hz}\approx 440\ \mathrm{Hz}.$$
Passo 4
Agora pra achar
, uso a razão
:
$$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\displaystyle\frac{v+v_t}{v-v_t}}{\displaystyle\frac{v-v_t}{v+v_t}}
= \Bigl(\frac{v+v_t}{v-v_t}\Bigr)^{2}.
R = \sqrt{\frac{f_1}{f_2}} = \frac{v+v_t}{v-v_t}.$$
Daí
$$\therefore; v_t = v,\frac{R - 1}{R + 1}
\quadcom\quad R = \sqrt{\frac{510}{380}}\approx1{,}159.
v_t = 340\cdot\frac{1{,}159-1}{1{,}159+1}
=340\cdot\frac{0{,}159}{2{,}159}\approx25{,}0\ \mathrm{m/s}.
25{,}0\ \mathrm{m/s}\times3{,}6 \approx90{,}0\ \mathrm{km/h}.$$
Resposta
Velocidade dos trens: aproximadamente 90 km/h
Frequência do apito no referencial da fonte: aproximadamente 440 Hz
Frequência do apito no referencial da fonte: aproximadamente 440 Hz