Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidade de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 510 Hz , quando estão se aproximando, e 380 Hz , quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340 m / s. Qual é a velocidade dos trens (em km / h)? Qual é a frequência do apito no seu referencial?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois trens indo em sentidos opostos, cada um com velocidade igual (vamos chamar de vt). Um trenzinho está apitando com frequência própria f0, e o passageiro do outro percebe 510 Hz quando se aproximam e 380 Hz quando se afastam. A velocidade do som vale v=340 m/s.
Conteúdo: efeito Doppler para fonte e observador em movimento. Pra resolver, a gente vai precisar das fórmulas do Doppler quando tanto fonte quanto observador estão se mexendo no ar, e um pouco de álgebra básica pra isolar f0 e vt.

Passo 2

Teoria:
Quando fonte e observador se aproximam, a frequência percebida é
f1 = f0,v + vobsv - vfonte,
Quando se afastam, é
f2 = f0,v - vobsv + vfonte,
Aqui observador e fonte têm a mesma velocidade vt, só em direções opostas. Então:
f1 = f0,v + vtv - vt, f2 = f0,v - vtv + vt

Passo 3

Primeiro eu calculo f0 sem nem mexer em vt. Repare que
f1,f2 = f0^2,v + vtv - vt,v - vtv + vt = f0^2
Logo
$$f_0 = \sqrt{f_1,f_2} = \sqrt{510\cdot380}\ \mathrm{Hz}
= \sqrt{193800}\ \mathrm{Hz}\approx 440\ \mathrm{Hz}.$$

Passo 4

Agora pra achar vt, uso a razão f1/f2:
$$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\displaystyle\frac{v+v_t}{v-v_t}}{\displaystyle\frac{v-v_t}{v+v_t}}
= \Bigl(\frac{v+v_t}{v-v_t}\Bigr)^{2}. f1f2 = v+vtv-vtv-vtv+vt = l(v+vtv-vtr)^2R = \sqrt{\frac{f_1}{f_2}} = \frac{v+v_t}{v-v_t}.$$
Daí
R = raizf1f2 = v+vtv-vt
$$\therefore; v_t = v,\frac{R - 1}{R + 1}
\quadcom\quad R = \sqrt{\frac{510}{380}}\approx1{,}159. R(v - vt) = v + vt ;;Longrightarrow;; R,v - R,vt = v + vt ;;Longrightarrow;; vt,(R + 1) = v,(R - 1)v_t = 340\cdot\frac{1{,}159-1}{1{,}159+1}
=340\cdot\frac{0{,}159}{2{,}159}\approx25{,}0\ \mathrm{m/s}. therefore; vt = v,R - 1R + 1 com R = raiz510380approx1,15925{,}0\ \mathrm{m/s}\times3{,}6 \approx90{,}0\ \mathrm{km/h}.$$

Resposta

Velocidade dos trens: aproximadamente 90 km/h
Frequência do apito no referencial da fonte: aproximadamente 440 Hz

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