3 - Dois tubos descarregam em um reservatório água ( \rho=1 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e álcool ( \rho= 7,9 \times 10^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). A vazão da água é de 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e a vazão do álcool é de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A mistura homogênea sai por um tubo cuja seção tem uma área de 25 \mathrm{~cm}^{2}. Calcule a massa específica e a velocidade da mistura na saída do tanque. Considere processo em regime permanente e a mistura incompressível.

Passo 1

O enunciado descreve dois fluxos permanentes que se misturam num reservatório: água com densidade \rho_{w}=1\times10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}} e vazão 30\,\mathrm{L/s}, e álcool com densidade \rho_{a}=7,9\times10^{2}\,\mathrm{kg/m^{3}} e vazão 15\,\mathrm{L/s}. A saída da mistura é por um tubo de seção 25\,\mathrm{cm^{2}}. Vamos usar balanço de massa (para achar a densidade da mistura) e continuidade em escoamento incompressível (para achar a velocidade de saída). Precisaremos converter unidades de volume para o SI.

Passo 2

Converter as vazões e área para o SI e obter a vazão total.
A vazão de água é
Q_{w}=30\,\mathrm{L/s}=30\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}/s}=0{,}03\,\mathrm{m^{3}/s},
a vazão de álcool é
Q_{a}=15\,\mathrm{L/s}=15\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}/s}=0{,}015\,\mathrm{m^{3}/s},
logo a vazão total é
Q_{t}=Q_{w}+Q_{a}=0{,}03+0{,}015=0{,}045\,\mathrm{m^{3}/s}.
A área de saída é
A=25\,\mathrm{cm^{2}}=25\times10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}=2{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Calcular as taxas de massa individuais e total:
\dot m_{w}=\rho_{w}Q_{w}=1000\cdot0{,}03=30{,}0\,\mathrm{kg/s},
\dot m_{a}=\rho_{a}Q_{a}=790\cdot0{,}015=11{,}85\,\mathrm{kg/s},
\dot m_{\text{total}}=\dot m_{w}+\dot m_{a}=30{,}0+11{,}85=41{,}85\,\mathrm{kg/s}.

Passo 4

A densidade da mistura em regime permanente é a razão entre a taxa de massa total e a vazão volumétrica total:
\rho_{m}=\frac{\dot m_{\text{total}}}{Q_{t}} =\frac{41{,}85}{0{,}045}=930\,\mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Pela equação da continuidade para fluido incompressível, a velocidade de saída é
v=\frac{Q_{t}}{A} =\frac{0{,}045}{2{,}5\times10^{-3}} =18\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A densidade da mistura é 930\,\mathrm{kg/m^{3}} e a velocidade de saída é 18\,\mathrm{m/s}.

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