Dois vetores, r e s, estão no plano x y. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320^circ e 85,0^circ, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao semieixo x positivo. Quais são os valores de (a) r cdot s e (b) r times s ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores no plano xy:
  • com módulo e direção .
  • com módulo e direção .
O conteúdo aqui é produto escalar e produto vetorial .
Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Decompor cada vetor em componentes e .
  2. Aplicar a fórmula do produto escalar em componentes.
  3. Aplicar a fórmula do produto vetorial (z-component) em componentes.

Passo 2

Primeiro, a gente decompõe rx = |vec r|costhetar, ry = |vec r|sinthetar e sx = |vec s|costhetas, sy = |vec s|sinthetas em rx = 4,50times0,7660 approx 3,447, ry = 4,50times(-0,6428)approx -2,893; e sx = 7,30times0,08716approx 0,6360, sy = 7,30times0,99619approx 7,276 .
Usamos
onde e .
Vamos às contas (usando aproximações de calculadora):
,
.
, .
Logo:

Passo 3

Agora o produto escalar:
vec rcdotvec s = rx,sx + ry,sy
É só multiplicar e somar:
vec rcdotvec s = (3,447)(0,6360) + (-2,893)(7,276) approx 2,1926 -21,048 approx -18,86
O produto escalar dá (unidades ao quadrado).

Passo 4

Para o produto vetorial no plano xy, só existe componente em (vec rtimesvec s)z = rx,sy ;-; ry,sx :
(vec rtimesvec s)z = (3,447)(7,276) - (-2,893)(0,6360) approx 25,08 +1,84 approx 26,92
Isso vem de calcular o determinante 2×2 das componentes.
Plugando valores:
Então .

Resposta

(a)
(b)

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