Dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} são dados por
\begin{aligned} & \mathbf{a}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}-\mathbf{k} \\\ & \mathbf{b}=3 \mathbf{i}-\mathbf{j}-2 \mathbf{k} \end{aligned}
Calcule:
\mathbf{a} \times \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em componentes (peguei isso diretamente do enunciado):
\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k},\qquad \mathbf{b} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} - 2\mathbf{k}.
A pergunta é: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} (o produto vetorial de \mathbf{a} por \mathbf{b}).

Passo 2

O que é o produto vetorial e como a gente calcula (aula rápida e prática).
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
  • Em componentes, se \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\mathbf{i}+ \bigl(a_z b_x - a_x b_z\bigr)\mathbf{j}+ \bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\mathbf{k}.
Expliquei cada termo: por exemplo, o coeficiente de \mathbf{i} é a diferença entre o produto das componentes y e z trocadas, ou seja a_y b_z - a_z b_y. Essa fórmula vem da expansão do determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas para a prova decorar essa forma e o processo para calcular é suficiente.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores (peguei das expressões no passo 1):
a_x=3,\quad a_y=-2,\quad a_z=-1,
b_x=3,\quad b_y=-1,\quad b_z=-2.

Passo 4

Calcular cada componente do produto vetorial usando a fórmula do passo 2.
Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
a_y b_z - a_z b_y = (-2)\cdot(-2) - (-1)\cdot(-1) = 4 - 1 = 3.
Componente y (coeficiente de \mathbf{j}):
a_z b_x - a_x b_z = (-1)\cdot 3 - 3\cdot(-2) = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3.
Componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
a_x b_y - a_y b_x = 3\cdot(-1) - (-2)\cdot 3 = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3.
Portanto o produto vetorial tem componentes (3,3,3), ou seja
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}+3\mathbf{k}.

Passo 5

Verificação rápida (ajuda a garantir que não errou): o produto vetorial deve ser ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Calcular os produtos escalares (checando que peguei as componentes originais do enunciado):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=3\cdot 3 + (-2)\cdot 3 + (-1)\cdot 3 = 9 -6 -3 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=3\cdot 3 + (-1)\cdot 3 + (-2)\cdot 3 = 9 -3 -6 = 0.
Ambos são 0, logo o vetor encontrado é realmente perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b} — bom sinal.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}+3\mathbf{k}

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