Dois vetores \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}} possuem módulos A=1 e B=5. O produto vetorial deles é \overrightarrow{\boldsymbol{A}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=3 \hat{\boldsymbol{\imath}}-4 \hat{\boldsymbol{k}}. Calcule o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O módulo do vetor \overrightarrow{\boldsymbol{A}} é \,A=1.
O módulo do vetor \overrightarrow{\boldsymbol{B}} é \,B=5.
O produto vetorial é \overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=3\hat{\imath}-4\hat{k}.
O que se pede: calcular o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Passo 2
Recordando a fórmula útil (e o que ela significa):
\bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr| é o módulo (comprimento) do vetor produto vetorial,
A é o módulo de \overrightarrow{\boldsymbol{A}},
B é o módulo de \overrightarrow{\boldsymbol{B}},
\theta é o ângulo entre os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, escolhido no intervalo [0,\pi].
Intuição rápida: o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, e cresce com \sin\theta. Para obter \theta isolamos \sin\theta:
Calcular o módulo do produto vetorial dado. Para um vetor com componentes, o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O vetor fornecido é \,3\hat{\imath}-4\hat{k}. Logo,
Resolver \sin\theta=1 no intervalo [0,\pi]. A função seno vale 1 apenas em \theta=\dfrac{\pi}{2} nesse intervalo. Portanto o ângulo entre os vetores é \dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Intuitivamente: \sin\theta=1 significa que os vetores são perpendiculares.