Dois vetores \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}} possuem módulos A=1 e B=5. O produto vetorial deles é \overrightarrow{\boldsymbol{A}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=3 \hat{\boldsymbol{\imath}}-4 \hat{\boldsymbol{k}}. Calcule o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O módulo do vetor \overrightarrow{\boldsymbol{A}} é \,A=1.
  • O módulo do vetor \overrightarrow{\boldsymbol{B}} é \,B=5.
  • O produto vetorial é \overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=3\hat{\imath}-4\hat{k}.
    O que se pede: calcular o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 2

Recordando a fórmula útil (e o que ela significa):
\bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr| = A\,B\,\sin\theta,
onde:
  • \bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr| é o módulo (comprimento) do vetor produto vetorial,
  • A é o módulo de \overrightarrow{\boldsymbol{A}},
  • B é o módulo de \overrightarrow{\boldsymbol{B}},
  • \theta é o ângulo entre os vetores \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, escolhido no intervalo [0,\pi].
Intuição rápida: o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, e cresce com \sin\theta. Para obter \theta isolamos \sin\theta:
\sin\theta = \frac{\bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr|}{A\,B}.

Passo 3

Calcular o módulo do produto vetorial dado. Para um vetor com componentes, o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O vetor fornecido é \,3\hat{\imath}-4\hat{k}. Logo,
\bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr| = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} =5.

Passo 4

Agora aplicar a igualdade da Passo 2 com os módulos conhecidos \,A=1 e \,B=5:
\sin\theta = \frac{\bigl|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr|}{A\,B} = \frac{5}{1\cdot 5} =1.

Passo 5

Resolver \sin\theta=1 no intervalo [0,\pi]. A função seno vale 1 apenas em \theta=\dfrac{\pi}{2} nesse intervalo. Portanto o ângulo entre os vetores é \dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Intuitivamente: \sin\theta=1 significa que os vetores são perpendiculares.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{2} (ou \theta=90^\circ)

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