1.85 São dados dois vetores
e
. Um terceiro vetor,
, se encontra no plano xy. O vetor
é perpendicular ao vetor
, e o produto escalar de
é 15,0. Por essa informação, ache os componentes do vetor
.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores no plano xy:
-
. -
. - Um vetor
no plano xy, com a informação de que é perpendicular a e que o produto escalar de com vale .
O que é pedido: achar os componentes do vetor
(ou seja, seus coeficientes na base
) usando apenas essas informações.
Passo 2
Vamos representar o vetor desconhecido
pelos seus componentes desconocidos:
onde
e
são os números que precisamos encontrar.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): o produto escalar entre dois vetores
e
é
Quando dois vetores são perpendiculares, seu produto escalar é
.
Aplicando isso à condição “
é perpendicular a
”, obtemos:
Substituindo componentes de
e
:
Ou seja,
Passo 4
Agora aplicamos a segunda condição: “produto escalar de
com
é
”, isto é,
Substituindo componentes de
e
:
Ou seja,
Passo 5
Temos, portanto, o sistema linear em
Uma maneira simples de resolver é isolar (x] na primeira equação e substituir na segunda.
Da primeira equação:
Calcule a razão:
Logo
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Passo a passo:
Então a equação fica
Escrevendo
com denominador
:
portanto
Isolando
:
Aproximação decimal (3 casas):
Passo 7
Agora calculamos
usando
:
Aproximação decimal (3 casas):
Passo 8
Vamos checar rápido as condições com esses valores (verificação algébrica com frações):
Produto escalar
:
ok — são perpendiculares.
Produto escalar
:
ok — a segunda condição também é satisfeita.