1.85 São dados dois vetores A=5,0 \hat{i}-6,5^{\wedge} \mathrm{j} e B =3,5 \hat{\mathrm{i}}-7,0^{\wedge} \mathrm{j}. Um terceiro vetor, C, se encontra no plano xy. O vetor C é perpendicular ao vetor A, e o produto escalar de C \operatorname{com} B é 15,0. Por essa informação, ache os componentes do vetor C.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores no plano xy:
  • A = 5,0\hat{\imath} - 6,5\hat{\jmath}.
  • B = 3,5\hat{\imath} - 7,0\hat{\jmath}.
  • Um vetor C no plano xy, com a informação de que C é perpendicular a A e que o produto escalar de C com B vale 15,0.
O que é pedido: achar os componentes do vetor C (ou seja, seus coeficientes na base \{\hat{\imath},\hat{\jmath}\}) usando apenas essas informações.

Passo 2

Vamos representar o vetor desconhecido C pelos seus componentes desconocidos:
C = x\hat{\imath} + y\hat{\jmath},
onde x e y são os números que precisamos encontrar.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): o produto escalar entre dois vetores \,U = u_x\hat{\imath}+u_y\hat{\jmath}\, e \,V = v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}\, é
U\cdot V = u_x v_x + u_y v_y.
Quando dois vetores são perpendiculares, seu produto escalar é 0.
Aplicando isso à condição “ C é perpendicular a A”, obtemos:
A\cdot C = 0.
Substituindo componentes de A e C:
(5,0)x + (-6,5)y = 0.
Ou seja,
5,0x - 6,5y = 0.

Passo 4

Agora aplicamos a segunda condição: “produto escalar de C com B é 15,0”, isto é,
B\cdot C = 15,0.
Substituindo componentes de B e C:
(3,5)x + (-7,0)y = 15,0.
Ou seja,
3,5x - 7,0y = 15,0.

Passo 5

Temos, portanto, o sistema linear em x\) e \(y\): \[\begin{cases} 5,0x - 6,5y = 0,\\[4pt] 3,5x - 7,0y = 15,0. \end{cases}
Uma maneira simples de resolver é isolar (x] na primeira equação e substituir na segunda.
Da primeira equação:
5,0x = 6,5y \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{6,5}{5,0}\,y.
Calcule a razão:
\dfrac{6,5}{5,0} = \dfrac{13/2}{5} = \dfrac{13}{10}.
Logo
x = \dfrac{13}{10}\,y.]

Passo 6

Substituindo x = \dfrac{13}{10}y na segunda equação:
3,5\!\left(\dfrac{13}{10}y\right) - 7,0y = 15,0.
Passo a passo:
3,5\cdot\dfrac{13}{10}y = \dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{13}{10}y = \dfrac{91}{20}y.
Então a equação fica
\dfrac{91}{20}y - 7,0y = 15,0.
Escrevendo 7,0 com denominador 20:
7,0y = \dfrac{140}{20}y,
portanto
\left(\dfrac{91}{20}-\dfrac{140}{20}\right)y = 15,0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{49}{20}y = 15,0.
Isolando y:
y = 15,0\cdot\left(-\dfrac{20}{49}\right) = -\dfrac{300}{49}.
Aproximação decimal (3 casas):
y \approx -6,122.

Passo 7

Agora calculamos x usando x = \dfrac{13}{10}y:
x = \dfrac{13}{10}\left(-\dfrac{300}{49}\right) = -\dfrac{390}{49}.
Aproximação decimal (3 casas):
x \approx -7,959.

Passo 8

Vamos checar rápido as condições com esses valores (verificação algébrica com frações):
Produto escalar A\cdot C:
5,0\!\left(-\dfrac{390}{49}\right) - 6,5\!\left(-\dfrac{300}{49}\right) = -\dfrac{1950}{49} + \dfrac{1950}{49} = 0,
ok — são perpendiculares.
Produto escalar B\cdot C:
3,5\!\left(-\dfrac{390}{49}\right) - 7,0\!\left(-\dfrac{300}{49}\right) = -\dfrac{2730}{98} + \dfrac{4200}{98} = \dfrac{1470}{98} = 15,0,
ok — a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

C = -\dfrac{390}{49}\,\hat{\imath} - \dfrac{300}{49}\,\hat{\jmath} \approx -7,959\hat{\imath} - 6,122\hat{\jmath}

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