QUESTÃO 4 (2 pontos)
Calcule o diämetro de uma barra para suportar um momento fletor de 5000 Nm . Considere a tensão de escoamento do material igual a 300 Mpa e um coeficiente de segurança igual a 1,5 .

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro de uma barra de seção circular que suporte um momento fletor M=5000\\ \mathrm{Nm}, sabendo que a tensão de escoamento é \sigma_y=300\\ \mathrm{MPa} e que o coeficiente de segurança é N=1{,}5. O conteúdo principal é resistência dos materiais (flexão), em que usamos a tensão máxima de flexão e o momento de inércia de uma seção circular.

Passo 2

Calcular a tensão admissível dividindo a tensão de escoamento pelo coeficiente de segurança:
\sigma_{\mathrm{adm}} = \frac{\sigma_y}{N}
\sigma_{\mathrm{adm}} = \frac{300\times10^6}{1{,}5} = 200\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Para uma seção circular de diâmetro d, o momento de inércia é
I = \frac{\pi d^4}{64},
e a fibra mais afastada do eixo neutro fica a c = \tfrac{d}{2}. A tensão máxima de flexão vem de
\sigma = \frac{M\,c}{I}.
Substituindo c e I,
\sigma = \frac{M\,(d/2)}{\pi d^4/64} = \frac{32\,M}{\pi\,d^3}.

Passo 4

Impor que a tensão de flexão não ultrapasse a admissível:
\frac{32\,M}{\pi\,d^3} \le \sigma_{\mathrm{adm}} \quad\Longrightarrow\quad d^3 \ge \frac{32\,M}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt[3]{\frac{32\,M}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}}}.

Passo 5

Substituindo M=5000\\ \mathrm{Nm} e \sigma_{\mathrm{adm}}=200\times10^6\\ \mathrm{Pa}:
d^3 = \frac{32 \times 5000}{\pi \times 200\times10^6} = 2{,}547\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3},
d = \sqrt[3]{2{,}547\times10^{-4}} \approx 0{,}0634\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Como normalmente expressamos em milímetros,
d \approx 0{,}0634\\ \mathrm{m} = 63{,}4\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O diâmetro necessário é cerca de 63{,}4\\ \mathrm{mm}.

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