Dois vetores são dados por vec{a}=3,0 \hat{\mathrm{i}}+5,0 \hat{\mathrm{j}} e vec{b}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+4,0 \hat{\mathrm{j}}. Determine
\vec{a} \cdot \vec{b}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede seu produto escalar. Informações fornecidas:
  • \vec{a}=3,0\\ \hat{\mathrm{i}}+5,0\\ \hat{\mathrm{j}}.
  • \vec{b}=2,0\\ \hat{\mathrm{i}}+4,0\\ \hat{\mathrm{j}}.
    O que se pede: calcular \vec{a}\cdot\vec{b}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • O produto escalar (ou dot product) de dois vetores em coordenadas cartesiana é dado por somar os produtos das componentes correspondentes.
  • Se \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Aqui a_x e a_y são as componentes de \vec{a} nas direções \hat{\mathrm{i}} e \hat{\mathrm{j}}, e b_x,b_y são as componentes de \vec{b}. Essa fórmula é prática na prova porque evita cálculos com ângulos quando as componentes são dadas.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados (peguei esses números do enunciado):
  • Para \vec{a}: a_x=3,0 e a_y=5,0.
  • Para \vec{b}: b_x=2,0 e b_y=4,0.

Passo 4

Aplicar a fórmula componente a componente e calcular passo a passo:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y
\vec{a}\cdot\vec{b}= (3,0)(2,0) + (5,0)(4,0)
Calcule cada produto:
(3,0)(2,0)=6,0
(5,0)(4,0)=20,0
Agora some:
6,0 + 20,0 = 26,0.

Passo 5

Interpretação curta (opcional, para fixar a ideia):
  • O resultado \vec{a}\cdot\vec{b}=26,0 é um número real. Geometricamente, também vale a identidade
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; isso serve se precisar relacionar produto escalar com ângulo na prova.

Resposta

26,0

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