Dois vetores satisfazem
e
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas equações vetoriais e pede para determinar os vetores
e
. As informações fornecidas são:
Ou seja, temos duas igualdades vetoriais completas (uma para os componentes
e outra para
). A tarefa é encontrar
e
que satisfazem ambas.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa manipular vetores por componentes de forma bem direta e sem mistério. Se um vetor
tem componentes
e
, escrevemos
A soma e a subtração de vetores são feitas componente a componente:
Aqui a ideia é transformar as equações vetoriais em sistemas de equações numéricas para as componentes.
Passo 3
Vamos introduzir incógnitas para as componentes:
Substituindo nas equações dadas e igualando componentes
e
obtemos o sistema:
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Resolva as equações das componentes
(idéia: somar as duas equações elimina
e dá
). Somando:
O lado esquerdo simplifica para
porque
cancela, e o lado direito é
:
Dividindo por
,
Passo 5
Agora obtenha
. Use a diferença entre as duas equações (ou subtraia a segunda da primeira):
O lado esquerdo é
, o direito é
:
Passo 6
Repita o mesmo raciocínio para as componentes
. Primeiro some as equações em
para eliminar
:
Isso dá
, portanto
Para
subtraia as equações:
O lado esquerdo é
, o direito é
, então
Passo 7
Agora escrevemos os vetores encontrados e fazemos uma checagem rápida (só para garantir que não houve erro de conta). Temos
Checagem:
e
. Está tudo certo — os vetores satisfazem as duas igualdades originais.