Dois vetores satisfazem \vec{A}+\vec{B}=6,0 \hat{i}+1,0 \hat{j} e \vec{A}-\vec{B}=-4,0 \hat{i}+7,0 \hat{j}. Determine \vec{A} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá duas equações vetoriais e pede para determinar os vetores \vec{A} e \vec{B}. As informações fornecidas são:
\vec{A}+\vec{B}=6,0\hat{i}+1,0\hat{j}
\vec{A}-\vec{B}=-4,0\hat{i}+7,0\hat{j}
Ou seja, temos duas igualdades vetoriais completas (uma para os componentes \hat{i} e outra para \hat{j}). A tarefa é encontrar \vec{A} e \vec{B} que satisfazem ambas.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa manipular vetores por componentes de forma bem direta e sem mistério. Se um vetor \vec{V} tem componentes V_x e V_y, escrevemos
\vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}.
A soma e a subtração de vetores são feitas componente a componente:
\vec{U}+\vec{V}=(U_x+V_x)\hat{i}+(U_y+V_y)\hat{j},
\vec{U}-\vec{V}=(U_x-V_x)\hat{i}+(U_y-V_y)\hat{j}.
Aqui a ideia é transformar as equações vetoriais em sistemas de equações numéricas para as componentes.

Passo 3

Vamos introduzir incógnitas para as componentes:
\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j},\qquad \vec{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}.
Substituindo nas equações dadas e igualando componentes \hat{i} e \hat{j} obtemos o sistema:
Para \hat{i}:
A_x+B_x=6,0
A_x-B_x=-4,0
Para \hat{j}:
A_y+B_y=1,0
A_y-B_y=7,0

Passo 4

Resolva as equações das componentes x (idéia: somar as duas equações elimina B_x e dá 2A_x). Somando:
(A_x+B_x)+(A_x-B_x)=6,0+(-4,0).
O lado esquerdo simplifica para 2A_x porque B_x cancela, e o lado direito é 2,0:
2A_x=2,0.
Dividindo por 2,
A_x=1,0.

Passo 5

Agora obtenha B_x. Use a diferença entre as duas equações (ou subtraia a segunda da primeira):
(A_x+B_x)-(A_x-B_x)=6,0-(-4,0).
O lado esquerdo é 2B_x, o direito é 10,0:
2B_x=10,0 \implies B_x=5,0.

Passo 6

Repita o mesmo raciocínio para as componentes y. Primeiro some as equações em y para eliminar B_y:
(A_y+B_y)+(A_y-B_y)=1,0+7,0.
Isso dá 2A_y=8,0, portanto
A_y=4,0.
Para B_y subtraia as equações:
(A_y+B_y)-(A_y-B_y)=1,0-7,0.
O lado esquerdo é 2B_y, o direito é -6,0, então
2B_y=-6,0 \implies B_y=-3,0.

Passo 7

Agora escrevemos os vetores encontrados e fazemos uma checagem rápida (só para garantir que não houve erro de conta). Temos
\vec{A}=1,0\hat{i}+4,0\hat{j},
\vec{B}=5,0\hat{i}-3,0\hat{j}.
Checagem: \vec{A}+\vec{B}=(1,0+5,0)\hat{i}+(4,0-3,0)\hat{j}=6,0\hat{i}+1,0\hat{j} e \vec{A}-\vec{B}=(1,0-5,0)\hat{i}+(4,0-(-3,0))\hat{j}=-4,0\hat{i}+7,0\hat{j}. Está tudo certo — os vetores satisfazem as duas igualdades originais.

Resposta

\vec{A}=1,0\hat{i}+4,0\hat{j}
\vec{B}=5,0\hat{i}-3,0\hat{j}

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