Considere a função logarítmica f(x)=\log _{a} x, em que a>0 e a \neq 1.
(a) Mostre que
\lim _{y \rightarrow y_{0}} \frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}}=\frac{1}{(\ln a) a^{y_{0}}}
(b) Mostre que para x, x_{0}>0 temos \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}}, em que y=\log _{a} x e y_{0}=\log _{a} x_{0}.
(c) Mostre que f^{\prime}(x)=\frac{1}{(\ln a) x}.
(d) O que acontece com a derivada quando a=e, isto é, quando a função é f(x)=\ln x ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\log_{a} x com a>0 e a\neq 1, e pede quatro coisas separadas:
  1. (a) Calcular \displaystyle \lim_{y\to y_{0}} \frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}} e mostrar que esse limite vale \displaystyle \frac{1}{(\ln a)\,a^{y_{0}}}.
  2. (b) Mostrar que, para x,x_{0}>0, \displaystyle \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}}, onde y=\log_{a}x e y_{0}=\log_{a}x_{0}.
  3. (c) Mostrar que f'(x)=\dfrac{1}{(\ln a)\,x}.
  4. (d) Dizer o que acontece com a derivada quando a=e, ou seja, para f(x)=\ln x.
Informações relevantes dadas: f(x)=\log_{a}x, a>0, a\neq1, e as relações inversas entre exponencial e logaritmo: x=a^{y} se e só se y=\log_{a}x. A resolução seguirá mostrando cada item passo a passo.

Passo 2

Vamos preparar ferramentas que usarei várias vezes (explicando por que elas valem):
  1. Relação entre exponencial com base a e exponencial natural:
a^{t}=e^{t\ln a}\quad\text{para qualquer }t.
Aqui \ln a é o logaritmo natural de a. Isso é só reescrever a potência com a base e, o que facilita limites e derivadas porque conhecemos bem as propriedades de e^{u}.
2. Limite fundamental do exponencial natural:
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Essa identidade é básica: a derivada de e^{u} em u=0 vale 1, e o limite acima expressa isso.
3. A regra de mudança de variável em limites: se h\to0 e u=\alpha h com \alpha fixo, então u\to0 e podemos converter limites envolvendo h em limites envolvendo u.
Vou usar essas três observações para calcular o limite pedido no item (a).

Passo 3

Prova do item (a). Começo manipulando a expressão para fatorar a^{y_{0}} do denominador:
\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}} = \frac{y-y_{0}}{a^{y_{0}}\bigl(a^{y-y_{0}}-1\bigr)} = \frac{1}{a^{y_{0}}}\cdot\frac{y-y_{0}}{a^{y-y_{0}}-1}.
Agora faço a substituição h=y-y_{0}. Quando y\to y_{0} temos h\to 0. A expressão fica
\frac{1}{a^{y_{0}}}\cdot\frac{h}{a^{h}-1}.
Usando a^{h}=e^{h\ln a} (veja Passo 2), temos
\frac{h}{a^{h}-1}=\frac{h}{e^{h\ln a}-1}.
Agora faço a mudança de variável u=h\ln a. Como h\to0 também u\to0, e h=\dfrac{u}{\ln a}. Substituindo:
\frac{h}{e^{h\ln a}-1}=\frac{\dfrac{u}{\ln a}}{e^{u}-1} =\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{u}{e^{u}-1}.
Aplicando o limite conhecido \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1, temos \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{u}{e^{u}-1}=1. Portanto
\lim_{h\to0}\frac{h}{a^{h}-1}=\frac{1}{\ln a}.
Voltando à expressão com a^{y_{0}},
\lim_{y\to y_{0}}\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}} =\frac{1}{a^{y_{0}}}\cdot\frac{1}{\ln a} =\frac{1}{(\ln a)\,a^{y_{0}}}.
Isso mostra o item (a). Observe que usei apenas reescrever a^{h} como e^{h\ln a} e o limite padrão do exponencial.

Passo 4

Prova do item (b). Aqui a ideia é usar que y=\log_{a}x é a inversa da função x\mapsto a^{x}. Em particular, se y=\log_{a}x então x=a^{y}; e se y_{0}=\log_{a}x_{0} então x_{0}=a^{y_{0}}.
Agora calculo o quociente de diferenças da função logaritmo:
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =\frac{\log_{a}x-\log_{a}x_{0}}{x-x_{0}} =\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}},
porque substituí f(x)=y e f(x_{0})=y_{0}, e x=a^{y}, x_{0}=a^{y_{0}}. Assim a igualdade pedida está comprovada — é apenas a troca das representações exponencial/logarítmica inversas.

Passo 5

Prova do item (c). Para obter a derivada f'(x_{0}) uso a definição de derivada como limite do quociente de diferenças:
f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Pelo resultado do Passo 4 (item (b)) esse quociente é igual a \dfrac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}} com y=\log_{a}x e y_{0}=\log_{a}x_{0}. Quando x\to x_{0} corresponde a y\to y_{0}. Portanto
f'(x_{0})=\lim_{y\to y_{0}}\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}}.
Mas esse limite foi calculado no Passo 3 e vale \dfrac{1}{(\ln a)\,a^{y_{0}}}. Como a^{y_{0}}=x_{0}, obtemos
f'(x_{0})=\frac{1}{(\ln a)\,x_{0}}.
Como x_{0} é um ponto arbitrário >0, concluímos a fórmula geral
f'(x)=\frac{1}{(\ln a)\,x}.
Comentário didático rápido: outra maneira de ver isso é usar a regra da derivada da função inversa: a derivada do logaritmo é o recíproco da derivada da exponencial correspondente, isto é, (\log_{a})'(x)=1/(a^{(\log_{a}x)}\ln a)=1/(x\ln a). Mas aqui fizemos direto pelos limites, que é mais construtivo para a prova.

Passo 6

Resposta ao item (d). Se a=e então \ln a=\ln e=1. Substituindo na fórmula do Passo 5:
f'(x)=\frac{1}{(\ln e)\,x}=\frac{1}{1\cdot x}=\frac{1}{x}.
Assim, para f(x)=\ln x obtemos a clássica derivada f'(x)=\dfrac{1}{x}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{(\ln a)\,a^{y_{0}}}\n
(b) \displaystyle \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{a^{y}-a^{y_{0}}}\n
(c) \displaystyle f'(x)=\frac{1}{(\ln a)\,x}\n
(d) \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}

Exercícios relacionados