Considere a função logarítmica
, em que
e
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que para
temos
, em que
e
.
(c) Mostre que
.
(d) O que acontece com a derivada quando
, isto é, quando a função é
?
(a) Mostre que
(c) Mostre que
(d) O que acontece com a derivada quando
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e
, e pede quatro coisas separadas:
- (a) Calcular
e mostrar que esse limite vale . - (b) Mostrar que, para
, , onde e . - (c) Mostrar que
. - (d) Dizer o que acontece com a derivada quando
, ou seja, para .
Informações relevantes dadas:
,
,
, e as relações inversas entre exponencial e logaritmo:
se e só se
. A resolução seguirá mostrando cada item passo a passo.
Passo 2
Vamos preparar ferramentas que usarei várias vezes (explicando por que elas valem):
- Relação entre exponencial com base
e exponencial natural:
Aqui
é o logaritmo natural de
. Isso é só reescrever a potência com a base
, o que facilita limites e derivadas porque conhecemos bem as propriedades de
.
2. Limite fundamental do exponencial natural:
2. Limite fundamental do exponencial natural:
Essa identidade é básica: a derivada de
em
vale
, e o limite acima expressa isso.
3. A regra de mudança de variável em limites: se e
com
fixo, então
e podemos converter limites envolvendo
em limites envolvendo
.
3. A regra de mudança de variável em limites: se
Vou usar essas três observações para calcular o limite pedido no item (a).
Passo 3
Prova do item (a). Começo manipulando a expressão para fatorar
do denominador:
Agora faço a substituição
. Quando
temos
. A expressão fica
Usando
(veja Passo 2), temos
Agora faço a mudança de variável
. Como
também
, e
. Substituindo:
Aplicando o limite conhecido
, temos
. Portanto
Voltando à expressão com
,
Isso mostra o item (a). Observe que usei apenas reescrever
como
e o limite padrão do exponencial.
Passo 4
Prova do item (b). Aqui a ideia é usar que
é a inversa da função
. Em particular, se
então
; e se
então
.
Agora calculo o quociente de diferenças da função logaritmo:
porque substituí
e
, e
,
. Assim a igualdade pedida está comprovada — é apenas a troca das representações exponencial/logarítmica inversas.
Passo 5
Prova do item (c). Para obter a derivada
uso a definição de derivada como limite do quociente de diferenças:
Pelo resultado do Passo 4 (item (b)) esse quociente é igual a
com
e
. Quando
corresponde a
. Portanto
Mas esse limite foi calculado no Passo 3 e vale
. Como
, obtemos
Como
é um ponto arbitrário
, concluímos a fórmula geral
Comentário didático rápido: outra maneira de ver isso é usar a regra da derivada da função inversa: a derivada do logaritmo é o recíproco da derivada da exponencial correspondente, isto é,
. Mas aqui fizemos direto pelos limites, que é mais construtivo para a prova.
Passo 6
Resposta ao item (d). Se
então
. Substituindo na fórmula do Passo 5:
Assim, para
obtemos a clássica derivada
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)