Um vetor
tem módulo
e faz ângulo de
com o eixo
positivo. Outro vetor
tem módulo
e faz ângulo de
com o eixo
negativo. Determine o módulo e o ângulo do vetor resultante
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre vetores e pede o vetor resultante:
- Vetor
: módulo e faz ângulo de com o eixo positivo. - Vetor
: módulo e faz ângulo de com o eixo negativo. Vou interpretar isso como formando com a direção para a esquerda do eixo , ou seja, o ângulo de medido a partir do eixo positivo é .
O que se pede: - Determinar o módulo do vetor resultante
. - Determinar o ângulo (medido a partir do eixo
positivo, no sentido anti-horário) do vetor .
Passo 2
Estratégia básica (resolução em componentes):
- Qualquer vetor no plano pode ser decomposto em componentes horizontal e vertical usando seno e cosseno do seu ângulo. Se um vetor tem módulo
e faz ângulo com o eixo positivo, então:
Aqui
é a componente na direção
(positiva para a direita) e
é a componente na direção
(positiva para cima). Isso vem diretamente da definição das razões trigonométricas no triângulo retângulo formado ao projetar o vetor nos eixos.
Aplicaremos isso aos vetores e
, somaremos componentes para obter
, e então calcularemos módulo e direção de
.
Aplicaremos isso aos vetores
Passo 3
Componentes do vetor
(
,
):
Usando valores trigonométricos:
Logo
Passo 4
Componentes do vetor
. Interpretei
(isto é,
):
Observação trigonométrica útil:
Com valores:
Logo
Passo 5
Somando componentes para obter
:
Então as componentes do resultante são aproximadamente
e
.
Passo 6
Cálculo do módulo de
pelo teorema de Pitágoras (aplicado às componentes):
Usando os valores:
Calculando:
Notação didática: também dá para usar a lei dos cossenos diretamente, porque o ângulo entre
e
é
. A lei dos cossenos para vetores diz
Substituindo
,
,
e
:
logo
. Isso confirma o cálculo por componentes e é uma forma rápida de obter o módulo.
Numericamente,
Numericamente,
Passo 7
Cálculo do ângulo do vetor resultante
. A direção básica vem de
Mas atenção ao quadrante: aqui
e
, então
está no segundo quadrante. A função arctan dá um ângulo principal entre
e
; para obter o ângulo medido a partir do eixo
positivo devemos ajustar pelo quadrante. Uma forma prática é calcular o ângulo de referência
Calculando a razão:
Como estamos no segundo quadrante, o ângulo pedido é
(Alternativamente, se você usar uma calculadora com função de dois argumentos
, ela já dá direto
.)