Um vetor \vec{A} tem módulo 12,0 \mathrm{~m} e faz ângulo de 40,0^{\circ} com o eixo x positivo. Outro vetor \vec{B} tem módulo 15,0 \mathrm{~m} e faz ângulo de 20,0^{\circ} com o eixo x negativo. Determine o módulo e o ângulo do vetor resultante \vec{A}+\vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre vetores e pede o vetor resultante:
  • Vetor \vec{A}: módulo \,12{,}0\\ \mathrm{m}\, e faz ângulo de \,40{,}0^\circ\, com o eixo x positivo.
  • Vetor \vec{B}: módulo \,15{,}0\\ \mathrm{m}\, e faz ângulo de \,20{,}0^\circ\, com o eixo x negativo. Vou interpretar isso como \vec{B} formando \,20{,}0^\circ\, com a direção para a esquerda do eixo x, ou seja, o ângulo de \vec{B} medido a partir do eixo x positivo é \,180^\circ-20{,}0^\circ=160{,}0^\circ.
    O que se pede:
  • Determinar o módulo do vetor resultante \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}.
  • Determinar o ângulo (medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário) do vetor \vec{R}.

Passo 2

Estratégia básica (resolução em componentes):
  • Qualquer vetor no plano pode ser decomposto em componentes horizontal e vertical usando seno e cosseno do seu ângulo. Se um vetor tem módulo V e faz ângulo \theta com o eixo x positivo, então:
V_x = V\cos\theta,\qquad V_y = V\sin\theta.
Aqui V_x é a componente na direção x (positiva para a direita) e V_y é a componente na direção y (positiva para cima). Isso vem diretamente da definição das razões trigonométricas no triângulo retângulo formado ao projetar o vetor nos eixos.
Aplicaremos isso aos vetores \vec{A} e \vec{B}, somaremos componentes para obter \vec{R}, e então calcularemos módulo e direção de \vec{R}.

Passo 3

Componentes do vetor \vec{A} ( A=12{,}0\\ \mathrm{m}, \theta_A=40{,}0^\circ):
A_x = 12{,}0\cos 40{,}0^\circ,\qquad A_y = 12{,}0\sin 40{,}0^\circ.
Usando valores trigonométricos:
\cos 40{,}0^\circ \approx 0{,}7660444431,\qquad \sin 40{,}0^\circ \approx 0{,}6427876097.
Logo
A_x \approx 12{,}0\times 0{,}7660444431 = 9{,}192533317\\ \mathrm{m},
A_y \approx 12{,}0\times 0{,}6427876097 = 7{,}713451316\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Componentes do vetor \vec{B}. Interpretei \theta_B=160{,}0^\circ (isto é, 180^\circ-20^\circ):
B_x = 15{,}0\cos 160{,}0^\circ,\qquad B_y = 15{,}0\sin 160{,}0^\circ.
Observação trigonométrica útil:
\cos 160{,}0^\circ=\cos(180^\circ-20^\circ)=-\cos 20^\circ,\qquad \sin 160{,}0^\circ=\sin(180^\circ-20^\circ)=\sin 20^\circ.
Com valores:
\cos 20{,}0^\circ \approx 0{,}9396926208,\qquad \sin 20{,}0^\circ \approx 0{,}3420201433.
Logo
B_x \approx 15{,}0\times(-0{,}9396926208) = -14{,}095389312\\ \mathrm{m},
B_y \approx 15{,}0\times 0{,}3420201433 = 5{,}130302149\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Somando componentes para obter \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}:
R_x = A_x + B_x \approx 9{,}192533317 + (-14{,}095389312) = -4{,}902855995\\ \mathrm{m},
R_y = A_y + B_y \approx 7{,}713451316 + 5{,}130302149 = 12{,}843753465\\ \mathrm{m}.
Então as componentes do resultante são aproximadamente R_x\approx -4{,}9029\\ \mathrm{m} e R_y\approx 12{,}8438\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo do módulo de \vec{R} pelo teorema de Pitágoras (aplicado às componentes):
R=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Usando os valores:
R\approx\sqrt{(-4{,}902855995)^{2} + (12{,}843753465)^{2}}.
Calculando:
(-4{,}902855995)^{2}\approx 24{,}04,\qquad (12{,}843753465)^{2}\approx 164{,}96,
R\approx\sqrt{24{,}04+164{,}96}=\sqrt{189{,}00}=\sqrt{189}.
Notação didática: também dá para usar a lei dos cossenos diretamente, porque o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é \theta_B-\theta_A=160^\circ-40^\circ=120^\circ. A lei dos cossenos para vetores diz
R^{2}=A^{2}+B^{2}+2AB\cos(\Delta\theta).
Substituindo A=12, B=15, \Delta\theta=120^\circ e \cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2}:
R^{2}=12^{2}+15^{2}+2\cdot 12\cdot 15\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=144+225-180=189,
logo R=\sqrt{189}. Isso confirma o cálculo por componentes e é uma forma rápida de obter o módulo.
Numericamente,
R=\sqrt{189}\approx 13{,}74772708\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo do ângulo do vetor resultante \vec{R}. A direção básica vem de
\tan\theta_R = \frac{R_y}{R_x}.
Mas atenção ao quadrante: aqui R_x<0 e R_y>0, então \vec{R} está no segundo quadrante. A função arctan dá um ângulo principal entre -90^\circ e +90^\circ; para obter o ângulo medido a partir do eixo x positivo devemos ajustar pelo quadrante. Uma forma prática é calcular o ângulo de referência
\varphi=\arctan\!\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{12{,}843753465}{4{,}902855995}\right).
Calculando a razão:
\frac{12{,}843753465}{4{,}902855995}\approx 2{,}61965\ldots
\varphi\approx \arctan(2{,}61965)\approx 69{,}12^\circ.
Como estamos no segundo quadrante, o ângulo pedido é
\theta_R = 180^\circ - \varphi \approx 180^\circ - 69{,}12^\circ = 110{,}88^\circ.
(Alternativamente, se você usar uma calculadora com função de dois argumentos \operatorname{atan2}(R_y,R_x), ela já dá direto \theta_R\approx 110{,}88^\circ.)

Resposta

R\approx 13{,}7477\\ \mathrm{m} \
\theta_R\approx 110{,}88^\circ

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