(2.5) Dois vetores \vec{u} e \vec{v} formam um ângulo de 150^{\circ}. Seus módulos são, respectivamente, 3 e 4. Calcule \|\vec{u}+\vec{v}\|.

Passo 1

Temos dois vetores \vec{u} e \vec{v} tais que \|\vec{u}\|=3, \|\vec{v}\|=4 e o ângulo entre eles é \theta=150^\circ. O que precisamos usar aqui é a relação entre o módulo da soma e o produto escalar:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\,\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.

Passo 2

Vamos calcular \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 substituindo os valores conhecidos:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 3^2 + 4^2 + 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos(150^\circ).

Passo 3

Sabemos que \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 9 + 16 + 24\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = 25 - 12\sqrt{3}.

Passo 4

Tirando a raiz quadrada para obter \|\vec{u}+\vec{v}\|, temos
\|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}}.

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