Questão 4: (Valor: 2 pontos) Considere os pontos A:(-1,0,3), B:(-1,-2,2), C:(1,0,2) e D:(2,4,1). Faça os seguintes itens:
(a) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A D}.
(b) Determine o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A, B, C e D.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3: A:(-1,0,3), B:(-1,-2,2), C:(1,0,2) e D:(2,4,1).
Parte (a) pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}: usamos aí o produto misto (ou determinante de matriz 3\times 3).
Parte (b) pede o volume do tetraedro com vértices A,B,C,D: sabemos que esse volume é \tfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro obtém-se os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0,\,-2,\,-1), \quad \overrightarrow{AC} = C - A = (2,\,0,\,-1), \quad \overrightarrow{AD} = D - A = (3,\,4,\,-2).

Passo 3

O produto misto é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores. Aqui uso as linhas:
\det\begin{pmatrix} 0 & -2 & -1\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 3 & 4 & -2 \end{pmatrix} = 0\cdot(0\cdot(-2)-(-1)\cdot4) -(-2)\cdot(2\cdot(-2)-(-1)\cdot3) +(-1)\cdot(2\cdot4-0\cdot3) =-10.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante:
V_{\text{par}} = \bigl|\det(\dots)\bigr| = 10.

Passo 5

O volume do tetraedro é um sexto desse valor:
V_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}\,V_{\text{par}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.

Resposta

(a) 10
(b) \displaystyle \frac{5}{3}

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