Questão 4: (Valor: 2 pontos) Considere os pontos A:(-1,0,3), B:(-1,-2,2), C:(1,0,2) e D:(2,4,1). Faça os seguintes itens:
(a) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A D}.
(b) Determine o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A, B, C e D.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3: A:(-1,0,3), B:(-1,-2,2), C:(1,0,2) e D:(2,4,1).
Parte (a) pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}: usamos aí o produto misto (ou determinante de matriz 3\times 3).
Parte (b) pede o volume do tetraedro com vértices A,B,C,D: sabemos que esse volume é \tfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro obtém-se os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0,\,-2,\,-1), \quad \overrightarrow{AC} = C - A = (2,\,0,\,-1), \quad \overrightarrow{AD} = D - A = (3,\,4,\,-2).
Passo 3
O produto misto é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores. Aqui uso as linhas: