Determine os pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A=(-11,-6,3) e B=(13,18,3) e a circunferência de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-2=0.
Escolha uma opção:
a. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(1,2,7)
b. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(5,2,3)
c. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(-3,2,3)
d. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(1,2,-1)
e. P_{1}=(1,2,7) e P_{2}=(5,2,3)
f. P_{1}=(1,2,7) e P_{2}=(1,-2,3)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a reta que passa por A=(-11,-6,3) e B=(13,18,3) e a superfície definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-2=0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: equação paramétrica de reta e interseção reta–esfera.

Passo 2

Vamos escrever a reta em forma paramétrica. O vetor diretor é
\vec v = B - A = (13-(-11),\,18-(-6),\,3-3) = (24,\,24,\,0).
Logo, um parâmetro t gera
x(t) = -11 + 24t,\quad y(t) = -6 + 24t,\quad z(t) = 3.

Passo 3

Reescrevemos a equação da superfície completando quadrados para reconhecer uma esfera.
x^{2}-2x + y^{2}-4y + z^{2}-6z = 2
(x-1)^{2}-1 + (y-2)^{2}-4 + (z-3)^{2}-9 = 2
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-3)^{2} = 16.
É uma esfera de centro C=(1,2,3) e raio r=4.

Passo 4

Substituímos x(t), y(t), z(t) na equação da esfera:
\bigl(x(t)-1\bigr)^{2} + \bigl(y(t)-2\bigr)^{2} + \bigl(z(t)-3\bigr)^{2} = 16.
Como z(t)-3=0, sobra
\bigl(-11+24t-1\bigr)^{2} + \bigl(-6+24t-2\bigr)^{2} = 16,
ou seja
(24t-12)^{2} + (24t-8)^{2} = 16.

Passo 5

Expandindo e simplificando:
576t^{2}-576t+144 +576t^{2}-384t+64 =16 \quad\Longrightarrow\quad 6t^{2}-5t+1=0.
A equação dá discriminante D=1 e soluções
t = \frac{5\pm1}{12}\;\Longrightarrow\;t_{1}=\tfrac12,\;t_{2}=\tfrac13.

Passo 6

Calculamos os pontos:
Para t_{1}=\tfrac12:
x = -11+24\cdot\tfrac12 =1,\quad y=-6+24\cdot\tfrac12=6,\quad z=3,
logo P_{1}=(1,6,3).
Para t_{2}=\tfrac13:
x=-11+24\cdot\tfrac13=-3,\quad y=-6+24\cdot\tfrac13=2,\quad z=3,
logo P_{2}=(-3,2,3).

Resposta

c. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(-3,2,3)

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