(Dolce/Pompeo) A base média de um trapézio mede 20 cm e a base maior é 3 / 2 da base menor. Determine as medidas das bases.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede as medidas das duas bases do trapézio. As informações são:
  • A base média tem comprimento 20\\ \text{cm}.
  • A base maior é \tfrac{3}{2} da base menor.
O que se pede: determinar a medida da base menor e da base maior.

Passo 2

Vamos definir variáveis para ficar claro:
  • Seja b a medida da base menor (em centímetros).
  • Seja B a medida da base maior (em centímetros).
  • Seja m a medida da base média (em centímetros).
Existe uma propriedade do trapézio que precisamos usar: a base média é a média aritmética das duas bases. Em fórmulas:
m = \frac{B + b}{2}.
Aqui m é o comprimento do segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos (a base média), e B e b são as bases do trapézio. Essa fórmula significa apenas “a base média é a soma das bases dividida por 2”.

Passo 3

Agora substituímos os dados do enunciado nas variáveis que definimos:
  • m = 20.
  • B = \tfrac{3}{2}b.
Substituindo esses valores na fórmula da base média obtemos:
20 = \frac{\tfrac{3}{2}b + b}{2}.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do lado direito passo a passo. Primeiro somamos os termos no numerador:
\tfrac{3}{2}b + b = \left(\tfrac{3}{2} + 1\right)b = \tfrac{5}{2}b.
Substituindo isso na equação:
20 = \frac{\tfrac{5}{2}b}{2}.

Passo 5

Simplificamos a divisão por 2. Dividir \tfrac{5}{2}b por 2 é o mesmo que multiplicar por \tfrac{1}{2}, logo
\frac{\tfrac{5}{2}b}{2} = \tfrac{5}{4}b.
Portanto a equação fica
20 = \tfrac{5}{4}b.
Para isolar b, multiplicamos ambos os lados pela recíproca de \tfrac{5}{4}, que é \tfrac{4}{5}:
b = 20 \cdot \tfrac{4}{5}.
Calculando:
20 \cdot \tfrac{4}{5} = \left(\tfrac{20}{5}\right)\cdot 4 = 4\cdot 4 = 16.
Logo b = 16\\ \text{cm}.

Passo 6

Agora calculamos a base maior usando B = \tfrac{3}{2}b:
B = \tfrac{3}{2}\cdot 16 = \frac{48}{2} = 24.
Logo B = 24\\ \text{cm}.

Passo 7

Fazemos uma checagem rápida: a base média deve ser \dfrac{B+b}{2}=\dfrac{24+16}{2}=\dfrac{40}{2}=20, que coincide com o dado do enunciado. Tudo confere!

Resposta

Base menor: 16\\ \text{cm}
Base maior: 24\\ \text{cm}

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