Um retângulo e um quadrado têm a mesma altura. Já a base do retângulo é o dobro da base do quadrado. Determine a razão entre os perímetros do retângulo e do quadrado.

Passo 1

O enunciado dá duas figuras: um retângulo e um quadrado. As informações relevantes são:
  • A altura do retângulo é igual à altura do quadrado.
  • A base do retângulo é o dobro da base do quadrado.
    O que se pede: determinar a razão entre os perímetros do retângulo e do quadrado (ou seja, \dfrac{\text{perímetro do retângulo}}{\text{perímetro do quadrado}}íâí).

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para representar o lado do quadrado. Seja a o comprimento do lado do quadrado. Então:
\text{o base do quadrado} = a, \qquad \text{altura do quadrado} = a.
Pelas informações do enunciado, a altura do retângulo é igual à do quadrado e a base do retângulo é o dobro da base do quadrado. Logo:
\text{altura do retângulo} = a, \qquad \text{base do retângulo} = 2a.ââ

Passo 3

Vamos lembrar o que é perímetro. Perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura fechada.
  • Para um retângulo com base b e altura h, o perímetro P_{\text{ret}} é
P_{\text{ret}} = 2(b + h).
Aqui cada lado aparece duas vezes (duas bases e duas alturas).
  • Para um quadrado de lado a, o perímetro P_{\text{quad}} é
P_{\text{quad}} = 4a,
pois são quatro lados iguais de comprimento a.

Passo 4

Calcular o perímetro do retângulo substituindo b=2a e h=a:
P_{\text{ret}} = 2(2a + a).
Somando dentro do parêntese:
2a + a = 3a,
logo
P_{\text{ret}} = 2 \cdot 3a = 6a.

Passo 5

Calcular o perímetro do quadrado (já conhecido pela fórmula):
P_{\text{quad}} = 4a.

Passo 6

Agora formamos a razão pedida:
\frac{P_{\text{ret}}}{P_{\text{quad}}} = \frac{6a}{4a}.
Explicando o passo de simplificação: a aparece no numerador e no denominador e, desde que a\neq 0 (um lado de comprimento zero não faz sentido geometricamente), podemos cancelar a:
\frac{6a}{4a} = \frac{6}{4}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Se preferir em decimal, isso corresponde a 1,5. Observação útil: a razão não depende do tamanho específico a; vale para qualquer quadrado/retângulo com essa relação de medidas.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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