Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula da função é
para todo que esteja no domínio. - Não há outras restrições explícitas na fórmula (não aparece raiz, fração com
no denominador, log, etc.).
Passo 2
O que é domínio e como identificá-lo aqui (aula rápida):
- Domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está definida). - Regras práticas: operações como soma, subtração e multiplicação por constantes são sempre definidas para todos os números reais; problemas aparecem quando há divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.
- Na função
não existe divisão por , nem raiz, nem logaritmo — é apenas uma constante. Portanto não há restrição: qualquer real pode ser usado.
Passo 3
Concluir o domínio:
- Assim o domínio é o conjunto de todos os números reais.
- Em notação:
. - Em notação de intervalos:
.
Passo 4
Determinar a imagem (faixa de valores) para ajudar no esboço:
- Para todo
do domínio, vale sempre . - A imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto
.
Passo 5
Pontos importantes para marcar no gráfico:
- Intercepto com o eixo
: é o ponto , pois . - Raízes (interceptos com o eixo
): resolver dá , que não tem solução. Logo NÃO há intercepto com o eixo . - Alguns pontos para desenhar:
, , . Todos têm a mesma altura .
Passo 6
Como esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos cartesianos
e . - Marque uma escala no eixo
e identifique o ponto . - Marque no papel os pontos
, e (ou quaisquer outros que preferir). - Una esses pontos por uma linha reta horizontal e estenda essa linha para a esquerda e para a direita com setas (pois o domínio é todo
). - Rotule a reta com
ou e indique o ponto .
Observação intuitiva: é sempre uma reta horizontal localizada na altura
.
Passo 7
Propriedades rápidas que ajudam a reconhecer o gráfico em provas:
- Função constante é contínua e diferenciável em todo
. - Derivada:
para todo (isso significa que a inclinação da reta é zero). - A função não é crescente nem decrescente no sentido estrito; ela é simultaneamente não-increasing e non-decreasing (é constante).
Resposta
Gráfico: reta horizontal