Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
f(x)=3

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=3 e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula da função é f(x)=3 para todo x que esteja no domínio.
  • Não há outras restrições explícitas na fórmula (não aparece raiz, fração com x no denominador, log, etc.).

Passo 2

O que é domínio e como identificá-lo aqui (aula rápida):
  • Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está definida).
  • Regras práticas: operações como soma, subtração e multiplicação por constantes são sempre definidas para todos os números reais; problemas aparecem quando há divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.
  • Na função f(x)=3 não existe divisão por x, nem raiz, nem logaritmo — é apenas uma constante. Portanto não há restrição: qualquer x real pode ser usado.

Passo 3

Concluir o domínio:
  • Assim o domínio é o conjunto de todos os números reais.
  • Em notação: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Em notação de intervalos: \mathrm{Dom}(f)=(-\infty,\infty).

Passo 4

Determinar a imagem (faixa de valores) para ajudar no esboço:
  • Para todo x do domínio, f(x) vale sempre 3.
  • A imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto \{3\}.

Passo 5

Pontos importantes para marcar no gráfico:
  • Intercepto com o eixo y: é o ponto (0,3), pois f(0)=3.
  • Raízes (interceptos com o eixo x): resolver f(x)=0 3=0, que não tem solução. Logo NÃO há intercepto com o eixo x.
  • Alguns pontos para desenhar: (-2,3), (0,3), (1,3). Todos têm a mesma altura y=3.

Passo 6

Como esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos cartesianos x e y.
  2. Marque uma escala no eixo y e identifique o ponto y=3.
  3. Marque no papel os pontos (-2,3), (0,3) e (2,3) (ou quaisquer outros x que preferir).
  4. Una esses pontos por uma linha reta horizontal e estenda essa linha para a esquerda e para a direita com setas (pois o domínio é todo \mathbb{R}).
  5. Rotule a reta com y=3 ou f(x)=3 e indique o ponto (0,3).
Observação intuitiva: é sempre uma reta horizontal localizada na altura y=3.

Passo 7

Propriedades rápidas que ajudam a reconhecer o gráfico em provas:
  • Função constante é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.
  • Derivada: f'(x)=0 para todo x (isso significa que a inclinação da reta é zero).
  • A função não é crescente nem decrescente no sentido estrito; ela é simultaneamente não-increasing e non-decreasing (é constante).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)
Gráfico: reta horizontal y=3 (pontos exemplos (-2,3),(0,3),(2,3)); intercepto em (0,3) e sem raízes.

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