Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
f(x)=2 x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=2x:
  • Determinar o domínio de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente f(x)=2x. Não há restrições adicionais no enunciado (nenhum valor excluído, nenhuma raiz quadrada de expressão, etc.).

Passo 2

O que significa “domínio” (explicação didática):
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está bem definida.
  • Regras comuns que limitam domínio incluem divisão por zero, radicais pares com argumento negativo, logaritmos de argumento não positivo, etc.
  • Se a expressão da função não contém esses problemas, normalmente o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Aplicando ao caso f(x)=2x:
  • A expressão 2x é um polinômio (uma função polinomial de grau 1). Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Resumo formal do domínio (com justificativa curta):
  • Como não há divisão, raiz par, logaritmo nem outra operação restritiva, conclui-se que
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 4

Entendendo a forma da função (aula curta sobre retas):
  • Uma função linear tem a forma geral \;f(x)=ax+b\;, onde:
    • \;a\; é o coeficiente angular (inclinação, “slope”) — indica quanto a função sobe ou desce quando x aumenta;
    • \;b\; é o coeficiente linear (intercepto em y) — é o valor de f(0), o ponto onde a reta cruza o eixo y.
  • Para \;f(x)=2x\; temos \;a=2\; e \;b=0\;.
    • Isso significa inclinação positiva (sobe) e passa pela origem.

Passo 5

Calcular pontos-chave que permitem traçar a reta (passo a passo):
  • Ponto com x=0:
f(0)=2\cdot 0=0,
logo ponto (0,0).
  • Ponto com x=1:
f(1)=2\cdot 1=2,
logo ponto (1,2).
  • Ponto com x=-1:
f(-1)=2\cdot(-1)=-2,
logo ponto (-1,-2).
Explicação prática: três pontos são suficientes para definir uma reta; use (0,0), (1,2) e (-1,-2) para desenhar com segurança.

Passo 6

Interpretando a inclinação \;a=2\; de forma simples:
  • Inclinação 2 significa que, ao avançar uma unidade em x (ou seja, \Delta x=1), o valor de f(x) aumenta duas unidades (ou seja, \Delta f=2).
  • Visualmente: a partir de (0,0) vá uma unidade para a direita e duas para cima para chegar em (1,2). Esse “subir 2 para correr 1” é a regra para desenhar a reta rapidamente.

Passo 7

Interceptos e simetrias (o que observar no esboço):
  • Intercepto em y: (0,f(0))=(0,0).
  • Intercepto em x: resolver f(x)=0 2x=0\Rightarrow x=0, então também (0,0).
  • A função é ímpar porque \;f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)\;. Isso implica simetria ímpar em relação à origem (rotacional de 180^\circ).

Passo 8

Comportamento para x\to\pm\infty (útil para esboço):
  • Quando x\to+\infty, temos f(x)=2x\to+\infty.
  • Quando x\to-\infty, temos f(x)\to-\infty.
  • Não há assíntotas horizontais ou verticais; é uma reta que se estende indefinidamente nos dois sentidos.

Passo 9

Instruções práticas e passo a passo para esboçar no papel (faça assim na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (por exemplo, 1 unidade = 1 cm).
  2. Marque o ponto (0,0).
  3. A partir de (0,0), mova-se 1 unidade à direita e 2 unidades para cima para marcar (1,2).
  4. A partir de (0,0), mova-se 1 unidade à esquerda e 2 unidades para baixo para marcar (-1,-2).
  5. Trace a reta que passa por esses pontos estendendo-a além deles, com setas nas extremidades para indicar que continua.
  6. Rotule a reta com a expressão f(x)=2x.

Passo 10

Resumo das propriedades úteis que merecem ser citadas na prova:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Reta passando pela origem com inclinação 2.
  • Crescente em todo \mathbb{R}.
  • Ímpar (simetria em relação à origem).
  • Interceptos: ambos em (0,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço: reta de equação \;f(x)=2x\; passando pela origem (0,0) com inclinação 2 (por exemplo pontos (-1,-2),(0,0),(1,2)), crescente e sem restrições para x.

Exercícios relacionados