Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio de
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. Não há restrições adicionais no enunciado (nenhum valor excluído, nenhuma raiz quadrada de expressão, etc.).
Passo 2
O que significa “domínio” (explicação didática):
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida. - Regras comuns que limitam domínio incluem divisão por zero, radicais pares com argumento negativo, logaritmos de argumento não positivo, etc.
- Se a expressão da função não contém esses problemas, normalmente o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Aplicando ao caso
:
- A expressão
é um polinômio (uma função polinomial de grau ). Polinômios estão definidos para todo . - Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Resumo formal do domínio (com justificativa curta):
- Como não há divisão, raiz par, logaritmo nem outra operação restritiva, conclui-se que
Passo 4
Entendendo a forma da função (aula curta sobre retas):
- Uma função linear tem a forma geral
, onde: -
é o coeficiente angular (inclinação, “slope”) — indica quanto a função sobe ou desce quando aumenta; -
é o coeficiente linear (intercepto em ) — é o valor de , o ponto onde a reta cruza o eixo .
-
- Para
temos e . - Isso significa inclinação positiva (sobe) e passa pela origem.
Passo 5
Calcular pontos-chave que permitem traçar a reta (passo a passo):
- Ponto com
:
logo ponto
.
- Ponto com
:
logo ponto
.
- Ponto com
:
logo ponto
.
Explicação prática: três pontos são suficientes para definir uma reta; use
,
e
para desenhar com segurança.
Passo 6
Interpretando a inclinação
de forma simples:
- Inclinação
significa que, ao avançar uma unidade em (ou seja, ), o valor de aumenta duas unidades (ou seja, ). - Visualmente: a partir de
vá uma unidade para a direita e duas para cima para chegar em . Esse “subir 2 para correr 1” é a regra para desenhar a reta rapidamente.
Passo 7
Interceptos e simetrias (o que observar no esboço):
- Intercepto em
: . - Intercepto em
: resolver dá , então também . - A função é ímpar porque
. Isso implica simetria ímpar em relação à origem (rotacional de ).
Passo 8
Comportamento para
(útil para esboço):
- Quando
, temos . - Quando
, temos . - Não há assíntotas horizontais ou verticais; é uma reta que se estende indefinidamente nos dois sentidos.
Passo 9
Instruções práticas e passo a passo para esboçar no papel (faça assim na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (por exemplo, 1 unidade = 1 cm). - Marque o ponto
. - A partir de
, mova-se 1 unidade à direita e 2 unidades para cima para marcar . - A partir de
, mova-se 1 unidade à esquerda e 2 unidades para baixo para marcar . - Trace a reta que passa por esses pontos estendendo-a além deles, com setas nas extremidades para indicar que continua.
- Rotule a reta com a expressão
.
Passo 10
Resumo das propriedades úteis que merecem ser citadas na prova:
- Domínio:
. - Reta passando pela origem com inclinação
. - Crescente em todo
. - Ímpar (simetria em relação à origem).
- Interceptos: ambos em
.
Resposta
Domínio:
Esboço: reta de equação passando pela origem
com inclinação
(por exemplo pontos
), crescente e sem restrições para
.
Esboço: reta de equação