Dê o domínio e esboce os gráficos das funções dadas.
h(x)=2 *|x|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função h:
  • determinar o domínio de h;
  • esboçar (desenhar) o gráfico de h(x)=2\cdot|x|.
Informação dada: a função é h(x)=2\cdot|x|.

Passo 2

Entender o que é valor absoluto é essencial. O valor absoluto de x\), escrito \(|x|\), é definido por: \[|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}
Isto quer dizer que |x|\] sempre é não negativo: \(|x|\ge 0 para todo x.]

Passo 3

Escrever h\) como função peça a peça usando a definição de \(|x|\). Substituindo, \[h(x)=2\cdot|x|=\begin{cases} 2\cdot(-x)=-2x, & x<0,\\[4pt] 2\cdot x=2x, & x\ge 0. \end{cases}
Isso nos dá duas retas que se unem em (x=0].]

Passo 4

Determinar o domínio. A expressão 2\cdot|x| está bem definida para todo número real x (valor absoluto e multiplicação por 2 não têm restrição). Logo o domínio é
\mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}.

Passo 5

Determinar o contradomínio/intervalo (útil para o esboço). Pela expressão peça a peça:
  • para x\ge 0 temos h(x)=2x\ge 0;
  • para x<0 temos h(x)=-2x; como x<0, -2x>0.
    O menor valor que h atinge é em x=0, com h(0)=0. Portanto o conjunto de valores é
\mathrm{Im}(h)=[0,\infty).

Passo 6

Identificar pontos e inclinações para desenhar a função. Da forma peça a peça obtemos:
  • no ramo direito ( x\ge 0): reta h(x)=2x com coeficiente angular 2. Alguns pontos fáceis: (0,0), (1,2), (2,4).
  • no ramo esquerdo ( x<0): reta h(x)=-2x com coeficiente angular -2. Alguns pontos: (0,0), (-1,2), (-2,4).
    O ponto (0,0) é o vértice (a “base” do V). O gráfico é um V simétrico em relação ao eixo y (função par), aberto para cima.

Passo 7

Como desenhar à mão rápido na prova (passo a passo):
  1. desenhe os eixos x e y e marque a origem (0,0);
  2. marque os pontos (1,2) e (-1,2) — ajudam a fixar a inclinação de cada ramo;
  3. trace a reta que passa por (0,0) e (1,2) para x\ge 0 (uma linha reta com subida de 2 unidades em y a cada 1 unidade em x);
  4. trace a reta que passa por (0,0) e (-1,2) para x\le 0 (uma linha reta com descida de 2 unidades em y ao ir para a direita);
  5. prolongue as duas retas como semi-retas para formar o V; coloque setas nas extremidades se quiser indicar que continuam indefinidamente.
    Dica: o gráfico é apenas o gráfico de |x| verticalmente esticado por fator 2 (multiplicar y por 2).

Passo 8

Observações úteis para a prova:
  • h\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\) (não há salto no vértice). - \(h\) não é diferenciável em \(x=0\) (há um "canto" — as derivadas laterais são diferentes). De fato, \[h'(x)=\begin{cases} -2, & x<0,\\[4pt] 2, & x>0, \end{cases}
e a derivada em 0\] não existe porque os limites laterais não coincidem. - O gráfico é simétrico em relação ao eixo \(y (função par): h(-x)=h(x).]

Resposta

\mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}.\n
O gráfico é um “V” com vértice em (0,0), formado pelas retas h(x)=-2x para x<0 e h(x)=2x para x\ge 0; imagem [0,\infty).

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