Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
x=y^{2}+z^{2}-2, (-1,1,0);

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x = y^{2} + z^{2} - 2
e o ponto indicado
(-1,\,1,\,0).
O que é pedido:
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto (-1,1,0).
  • Determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície está escrita explicitamente como x = g(y,z) com g(y,z)=y^{2}+z^{2}-2.
  • O ponto de contato tem coordenadas x_{0}=-1, y_{0}=1, z_{0}=0.

Passo 2

Decisão do método (motivo e ideia geral, sem calcular ainda).
Como a superfície está dada na forma x=g(y,z), a maneira mais direta é usar a linearização (expansão em primeira ordem) de g ao redor de (y_{0},z_{0}) para obter o plano tangente. Essa fórmula dá diretamente x em função de y e z perto do ponto. Alternativamente, podemos ver a superfície de forma implícita definindo
F(x,y,z)=x-y^{2}-z^{2}+2
e usar o gradiente \nabla F (que fornece um vetor normal à superfície) para escrever a equação do plano tangente. Vou fazer as duas abordagens: primeiro a via direta por derivadas parciais de g (mais simples), e depois mostrar que a abordagem do gradiente dá o mesmo resultado (é útil conhecer ambas).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de g(y,z)=y^{2}+z^{2}-2.
Explicando: a derivada parcial \dfrac{\partial g}{\partial y} é a taxa de variação de g quando só y varia e z é mantido fixo; similar para \dfrac{\partial g}{\partial z}.
Calculemos:
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=2y, \qquad \frac{\partial g}{\partial z}(y,z)=2z.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (y_{0},z_{0})=(1,0).
Substituindo:
\frac{\partial g}{\partial y}(1,0)=2\cdot 1=2, \qquad \frac{\partial g}{\partial z}(1,0)=2\cdot 0=0.
Interpretação: na vizinhança do ponto dado, um pequeno aumento \Delta y produz cerca de 2\Delta y na coordenada x; variações em z não alteram x em primeira ordem, porque a derivada em z é zero naquele ponto.

Passo 5

Escrever o plano tangente pela fórmula de linearização da função g.
Fórmula: para x=g(y,z) e ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) com x_{0}=g(y_{0},z_{0}), o plano tangente é dado por
x = x_{0} + \frac{\partial g}{\partial y}(y_{0},z_{0})\,(y-y_{0}) + \frac{\partial g}{\partial z}(y_{0},z_{0})\,(z-z_{0}).
Substituindo os valores calculados:
x_{0}=-1,\quad \frac{\partial g}{\partial y}(1,0)=2,\quad \frac{\partial g}{\partial z}(1,0)=0,\quad y_{0}=1,\quad z_{0}=0,
temos
x = -1 + 2\,(y-1) + 0\,(z-0).
Simplificando:
x = -1 + 2y -2 = 2y -3.
Colocando em forma padrão de plano:
x - 2y + 3 = 0.

Passo 6

Verificação pelo método implícito (gradiente) — interpretar F(x,y,z)=0.
Defina
F(x,y,z)=x-y^{2}-z^{2}+2.
O vetor normal ao nível F=0 é \nabla F, onde
\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Calculemos:
\frac{\partial F}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-2z.
No ponto (-1,1,0) isso vira
\nabla F(-1,1,0)=(1,\,-2,\;0).
A equação do plano tangente usando o vetor normal (1,-2,0) é
1\,(x-(-1)) + (-2)\,(y-1) + 0\,(z-0)=0.
Isto é
x+1 -2(y-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x -2y +3 = 0,
que coincide com o resultado do Passo 5. Boa: as duas abordagens são consistentes.

Passo 7

Determinar a reta normal paramétrica passando pelo ponto com direção dada pelo vetor normal.
A reta normal à superfície no ponto tem direção dada pelo vetor normal \mathbf{n}=\nabla F(-1,1,0)=(1,-2,0)\) e passa por \((-1,1,0)\). As equações paramétricas (com parâmetro \(t\)) são \[\begin{cases} x(t) = -1 + 1\cdot t = -1 + t,\\[4pt] y(t) = 1 + (-2)\cdot t = 1 - 2t,\\[4pt] z(t) = 0 + 0\cdot t = 0. \end{cases}
Explicando: quando t=0\] estamos no ponto \((-1,1,0); variar t desloca ao longo da reta na direção (1,-2,0).]

Passo 8

Observações finais e motivação para a prova (curta e motivadora).
Resumo mental rápido para a prova: se a superfície está escrita como x=g(y,z), use as derivadas parciais de g para escrever o plano tangente por linearização. Se a superfície vem como F(x,y,z)=0, calcule \nabla F para obter o vetor normal e, a partir dele, escreva tanto a equação do plano tangente quanto a linha normal. Tu já viu os dois jeitos aqui — usa o que achar mais direto na prova. Força aí, você consegue!

Resposta

x-2y+3=0
\displaystyle x=-1+t,\quad y=1-2t,\quad z=0

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