Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
;
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto indicado
O que é pedido:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície está escrita explicitamente como
com . - O ponto de contato tem coordenadas
, , .
Passo 2
Decisão do método (motivo e ideia geral, sem calcular ainda).
Como a superfície está dada na forma
, a maneira mais direta é usar a linearização (expansão em primeira ordem) de
ao redor de
para obter o plano tangente. Essa fórmula dá diretamente
em função de
e
perto do ponto. Alternativamente, podemos ver a superfície de forma implícita definindo
e usar o gradiente
(que fornece um vetor normal à superfície) para escrever a equação do plano tangente. Vou fazer as duas abordagens: primeiro a via direta por derivadas parciais de
(mais simples), e depois mostrar que a abordagem do gradiente dá o mesmo resultado (é útil conhecer ambas).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
.
Explicando: a derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só
varia e
é mantido fixo; similar para
.
Calculemos:
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Substituindo:
Interpretação: na vizinhança do ponto dado, um pequeno aumento
produz cerca de
na coordenada
; variações em
não alteram
em primeira ordem, porque a derivada em
é zero naquele ponto.
Passo 5
Escrever o plano tangente pela fórmula de linearização da função
.
Fórmula: para
e ponto
com
, o plano tangente é dado por
Substituindo os valores calculados:
temos
Simplificando:
Colocando em forma padrão de plano:
Passo 6
Verificação pelo método implícito (gradiente) — interpretar
.
Defina
O vetor normal ao nível
é
, onde
Calculemos:
No ponto
isso vira
A equação do plano tangente usando o vetor normal
é
Isto é
que coincide com o resultado do Passo 5. Boa: as duas abordagens são consistentes.
Passo 7
Determinar a reta normal paramétrica passando pelo ponto com direção dada pelo vetor normal.
A reta normal à superfície no ponto tem direção dada pelo vetor normal
Explicando: quando
; variar
desloca ao longo da reta na direção
.]
Passo 8
Observações finais e motivação para a prova (curta e motivadora).
Resumo mental rápido para a prova: se a superfície está escrita como
, use as derivadas parciais de
para escrever o plano tangente por linearização. Se a superfície vem como
, calcule
para obter o vetor normal e, a partir dele, escreva tanto a equação do plano tangente quanto a linha normal. Tu já viu os dois jeitos aqui — usa o que achar mais direto na prova. Força aí, você consegue!