Dê o domínio:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in \mathbb{Q} \\\\ -1, & x \notin \mathbb{Q}\end{array}, \quad g(x)= \begin{cases}-1, & x \in \mathbb{Q} \\\\ 1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\right.

Passo 1

O enunciado define duas funções em pedaços:
f(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ -1, & x\notin\mathbb{Q}, \end{cases} \qquad g(x)= \begin{cases} -1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ 1, & x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Queremos encontrar o domínio de cada uma, ou seja, todos os x para os quais a função está definida.

Passo 2

Para f, observe que todo número real x ou é racional x\in\mathbb{Q} ou é irracional x\notin\mathbb{Q}. Em ambos os casos a definição de f(x) dá um valor (ou 1 ou -1). Logo, não há nenhum x\in\mathbb{R} que fique sem definição.

Passo 3

O mesmo argumento vale para g: a partição entre x\in\mathbb{Q} e x\notin\mathbb{Q} cobre todos os reais, e em cada caso g(x) recebe um valor -1 ou 1. Assim, g também está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

O domínio de f é \mathbb{R}.
O domínio de g é \mathbb{R}.

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