Prove:
\lim _{x \rightarrow p} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow p}[f(x)-L]=0
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})

Passo 1

O exercício tem duas partes. Primeiro, provar a equivalência
\lim_{x\to p}f(x)=L\;\Longleftrightarrow\;\lim_{x\to p}\bigl(f(x)-L\bigr)=0,
usando definição \epsilon \delta. Depois, calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\bigr),
usando manipulação algébrica (racionalização).

Passo 2

Mostramos que
\lim_{x\to p}f(x)=L \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to p}\bigl(f(x)-L\bigr)=0.
Pela definição de limite, dado qualquer \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-p|<\delta, então
\bigl|f(x)-L\bigr|<\epsilon.
Mas \bigl|\,\bigl(f(x)-L\bigr)-0\bigr|=|f(x)-L|, logo com o mesmo \delta temos
\bigl|\,\bigl(f(x)-L\bigr)-0\bigr|<\epsilon
sempre que 0<|x-p|<\delta. Isso mostra \lim_{x\to p}(f(x)-L)=0.

Passo 3

Agora a recíproca:
\lim_{x\to p}\bigl(f(x)-L\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to p}f(x)=L.
Pela hipótese, dado \epsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-p|<\delta implica
\bigl|\,(f(x)-L)-0\bigr|<\epsilon,
isto é, |f(x)-L|<\epsilon. Essa é exatamente a condição para \lim_{x\to p}f(x)=L.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\bigr).
Para ver o comportamento usemos racionalização: multiplicamos e dividimos pela conjugada:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} =\frac{\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\bigr)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}\bigr)} {\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} =\frac{(x+1)-(x+3)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.

Passo 5

Simplificando o numerador, (x+1)-(x+3)=-2. Então
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} =-\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.
À medida que x\to+\infty, ambos \sqrt{x+1} e \sqrt{x+3} crescem como \sqrt{x}, logo o denominador tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\bigr) =-\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} =0.

Resposta

A equivalência
\lim_{x\to p}f(x)=L\iff\lim_{x\to p}\bigl(f(x)-L\bigr)=0
foi demonstrada usando a definição \epsilon \delta.
Além disso,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\bigr)=0.

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