Prove:
Passo 1
O exercício tem duas partes. Primeiro, provar a equivalência
usando definição
–
. Depois, calcular
usando manipulação algébrica (racionalização).
Passo 2
Mostramos que
Pela definição de limite, dado qualquer
existe
tal que, se
, então
Mas
, logo com o mesmo
temos
sempre que
. Isso mostra
.
Passo 3
Agora a recíproca:
Pela hipótese, dado
existe
tal que
implica
isto é,
. Essa é exatamente a condição para
.
Passo 4
Agora calculamos
Para ver o comportamento usemos racionalização: multiplicamos e dividimos pela conjugada:
Passo 5
Simplificando o numerador,
. Então
À medida que
, ambos
e
crescem como
, logo o denominador tende a
. Portanto
Resposta
A equivalência
foi demonstrada usando a definição
–
.
Além disso,