Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
2 x^{2}+2 x-12>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação 2x^2+2x-12>0 em \mathbb{R}. O conteúdo é inequações de segundo grau e vamos usar cálculo de discriminante, raízes e análise de sinal do trinômio.

Passo 2

Calcular o discriminante \Delta usando \Delta = b^2 - 4ac, onde a = 2, b = 2 e c = -12:
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 4 + 96 = 100.

Passo 3

Encontrar as raízes pela fórmula quadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2 \cdot 2}.
Logo,
x_1 = \frac{-2 - 10}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 10}{4} = 2.

Passo 4

Como a = 2 > 0, o gráfico da parábola abre para cima, logo o trinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes. Portanto,
2x^2 + 2x - 12 > 0
quando
x < -3 \quad\text{ou}\quad x > 2.

Resposta

(-\infty, -3)\cup(2, \infty)

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