Dê o domínio das funções abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{3}-4 x^{2}+3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\ln\bigl(x^{3}-4x^{2}+3x\bigr).
O conteúdo aqui é domínio de logaritmo: precisamos garantir que o argumento do \ln seja estritamente positivo.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência do logaritmo:
x^{3}-4x^{2}+3x>0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio dentro do logaritmo:
x^{3}-4x^{2}+3x = x\,(x^{2}-4x+3) = x\,(x-1)\,(x-3).
Os zeros desse produto são x=0, x=1 e x=3.

Passo 4

Fazemos a tabela de sinais do produto x\,(x-1)\,(x-3):
Para x<0: \;(-)\times(-)\times(-)=(-) \Rightarrow negativo
Para 0<x<1: (+)\times(-)\times(-)=(+) \Rightarrow positivo
Para 1<x<3: (+)\times(+)\times(-)=(-) \Rightarrow negativo
Para x>3: (+)\times(+)\times(+)= (+) \Rightarrow positivo
Queremos as regiões em que o produto é positivo, e excluímos os pontos onde o produto é zero (pois \ln(0) não existe).

Resposta

O domínio de f é
(0,1)\cup(3,\infty).

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