Seja f(x)=\frac{x}{x+1}. Determine:
a) A derivada de f(x) utilizando a definição de derivada.
b) Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x+1}
e pede duas coisas:
  1. usar a definição de derivada para achar f'(x), ou seja
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
  1. escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.

Passo 2

Calcular o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}}{h} =\frac{1}{h}\,\frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}.
No numerador temos
(x+h)(x+1)=x^2+xh+x+h, \quad x(x+h+1)=x^2+xh+x,
logo a diferença é
(x^2+xh+x+h)-(x^2+xh+x)=h.

Passo 3

Substituindo essa diferença no quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{h}\,\frac{h}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{1}{(x+h+1)(x+1)}.
Fazendo h\to0 vem
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 4

Para a reta tangente em x=1, o coeficiente angular é
m=f'(1)=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac{1}{4},
e o ponto de tangência é \bigl(1,f(1)\bigr) com
f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
A equação ponto‐declive da reta é
y-\tfrac12=\tfrac14\,(x-1),
ou, isolando y,
y=\tfrac14\,x+\tfrac14.

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}.
b) A reta tangente em x=1 é \displaystyle y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}.

Exercícios relacionados