Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}+\mathbf{c} x, & \text { se } x \leq 1 \\\ (\mathbf{c} x)^{2}-1, & \text { se } x>1\end{cases}
a) Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) valor(es) de \mathbf{c} que tornam a função f(x) contínua em toda a reta.
b) Faça um esboço do gráfico da função f(x) se \mathbf{c}=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+\mathbf{c}\,x, & x\le1,\\\ (\mathbf{c}\,x)^{2}-1, & x>1, \end{cases}
e pede em (a) os valores de \mathbf{c} que tornam f contínua em toda reta (isto é, especialmente em x=1), e em (b) o esboço do gráfico quando \mathbf{c}=1.

Passo 2

Continuar em x=1 exige
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Para x\le1 temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^{2}+\mathbf{c}\cdot1=1+\mathbf{c}.

Passo 3

Para x>1 temos
\lim_{x\to1^+}f(x)=(\mathbf{c}\cdot1)^{2}-1=\mathbf{c}^{2}-1.

Passo 4

Igualando os dois limites em x=1:
1+\mathbf{c}=\mathbf{c}^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{c}^{2}-\mathbf{c}-2=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
\mathbf{c}^{2}-\mathbf{c}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{c}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2},
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\mathbf{c}=2 \quad\text{ou}\quad \mathbf{c}=-1.

Passo 6

Para o item (b), tomamos \mathbf{c}=1\). A função fica \[f(x)= \begin{cases} x^{2}+x, & x\le1,\\\ x^{2}-1, & x>1. \end{cases}
No ramo x\le1\], é a parábola \(y=x^{2}+x com vértice em x=-\tfrac12, valor mínimo y=-\tfrac14, e em x=1 atinge f(1)=2 (ponto fechado (1,2)).

Passo 7

No ramo x>1, é a parábola y=x^{2}-1 com vértice em (0,-1), e em x=1 f(1^+)=0 (ponto aberto (1,0)). Há, portanto, descontinuidade salto em x=1 de 2 para 0.

Resposta

a) \mathbf{c}=2 ou \mathbf{c}=-1.
b) Para \mathbf{c}=1, o gráfico é a união da parábola y=x^{2}+x em x\le1 (com ponto fechado em (1,2)) e da parábola y=x^{2}-1 em x>1 (com ponto aberto em (1,0)), apresentando salto em x=1.

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