Dê o domínio e utilize uma ferramente computacional (GeoGebra ou outra) para plotar o gráfico e algumas curvas de nível das seguinte funções de duas variáveis (não precisa entregar):
g(x, y)=-3 y^2+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de duas variáveis
g(x,y) = -3,y^2 + 2
e, em seguida, usar uma ferramenta computacional (por exemplo GeoGebra) para visualizar a superfície z=g(x,y) e algumas curvas de nível. O conteúdo principal é identificar domínios de funções reais de duas variáveis e interpretar a forma geométrica do gráfico e das curvas de nível.

Passo 2

Para achar o domínio de g, observamos que ela é dada por um polinômio em y (não há denominadores, radicais ou logaritmos que restrinjam entradas). Logo, g está bem-definida para todo par real (x,y).
Portanto,
Domínio(g) = (x,y)mid xinR,,yinR = R^2 í

Passo 3

Para visualizar o gráfico em 3D de
z = -3,y^2 + 2,
note que z não depende de x. Isso significa que, para cada valor de y, a seção vertical (plano y z) é uma parábola voltada para baixo com vértice em (y=0,z=2), e esta forma se estende invariavelmente ao longo do eixo x. Em um software como GeoGebra, o resultado é um cilindro parabólico com eixo paralelo a x.

Passo 4

As curvas de nível de g correspondem aos pontos (x,y) tais que
-3,y^2 + 2 = k,
onde k é o valor da curva de nível. Rearranjando,
y^2 = 2 - k3
Para que haja solução real, é preciso 2 - k >= 0, isto é k <= 2.
  • Se k < 2, temos duas retas horizontais no plano xy: y = pmraiz2-k3
  • Se k=2, sobra apenas a reta y=0.
  • Se k>2, não há curva de nível real.
Em um software, basta traçar estas retas para vários k<=2 e observar o empacotamento simétrico em torno de y=0.

Resposta

O domínio de g é
R^2

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