Considere o sólido G, limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo plano z=1.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido G que fica por baixo da esfera
x^2+y^2+z^2=4
e por cima do plano
z=1
Este é um problema de cálculo de volume via integral tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), onde
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
e o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a esfera x^2+y^2+z^2=4 vira
r^2+z^2=4Longrightarrow z=raiz4-r^2,
e o plano é z=1. Assim, para cada (r,theta) com 0<= r<=raiz3 (pois raiz4-r^2>=1 r<=raiz3) e 0<=theta<=2pi, z varia de 1 até raiz4-r^2. Logo o volume é
V=integraltheta=0^2pi!integralr=0^raiz3!integralz=1^raiz4-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=1^raiz4-r^2r,dz = rl(raiz4-r^2-1r)
Portanto
V = integral0^2pi!integral0^raiz3 rl(raiz4-r^2-1r),dr,dtheta = 2pi integral0^raiz3 rl(raiz4-r^2-1r),dr

Passo 4

Separamos o integral em duas partes:
integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr ;-; integral0^raiz3r,dr
Denotemos
I1 = integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr, I2 = integral0^raiz3r,dr

Passo 5

Para I1 usamos a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr, de modo que r,dr=-tfrac12,du e quando r=0 vem u=4, quando r=raiz3 vem u=1. Assim
I1 = integralu=4^1raizu,l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral4^1u^1/2,du = -tfrac12cdot23l[u^3/2r]4^1 = -tfrac13l(1^3/2-4^3/2r) = -tfrac13(1-8) = tfrac73

Passo 6

I2 = integral0^raiz3r,dr = 12l[r^2r]0^raiz3 = 12cdot3 = 32

Passo 7

Reunindo,
integral0^raiz3rl(raiz4-r^2-1r),dr = I1 - I2 = 73 - 32 = 14-96 = 56
Multiplicando por 2pi,
V = 2picdot56 = 5pi3

Resposta

O volume do sólido G é 5pi3.

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