Considere o sólido G, limitado acima pela esfera
e abaixo pelo plano
.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica por baixo da esfera
e por cima do plano
Este é um problema de cálculo de volume via integral tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas
, onde
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a esfera
vira
e o plano é
. Assim, para cada
com
(pois
dá
) e
,
varia de
até
. Logo o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Portanto
Passo 4
Separamos o integral em duas partes:
Denotemos
Passo 5
Para
usamos a substituição
,
, de modo que
e quando
vem
, quando
vem
. Assim
Passo 6
Já
Passo 7
Reunindo,
Multiplicando por
,
Resposta
O volume do sólido
é
.