Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se a corrente inicial é zero. Determine a corrente quando t infty.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito em série do tipo RL submetido, a partir de t=0, a uma força eletromotriz constante varepsilon. Temos indutância L=0,1 H, resistência R=50 Omega e corrente inicial i(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem aplicadas a circuitos RL, onde a lei de Kirchhoff de tensões dá uma ODE linear em i(t).

Passo 2

Escrevendo a equação de circuito pela soma algébrica das quedas de tensão, temos
L,didt + R,i = varepsilon
Substituindo L=0,1 e R=50, a ODE fica
0,1,didt + 50,i = varepsilon

Passo 3

Dividindo tudo por 0,1, obtemos a forma padrão
didt + 500,i = varepsilon0,1=10,varepsilon
A solução geral é soma da solução homogênea ih(t) (que satisfaz dih/dt+500,ih=0) e de uma particular ip.
  • A homogênea é
ih(t)=C,e^-500 t
  • Uma solução particular constante satisfaz 500,ip=10,varepsilon, logo
ip=10,varepsilon500=varepsilon50
Portanto a solução geral é
i(t)=varepsilon50 + C,e^-500 t

Passo 4

Aplicando a condição inicial i(0)=0:
0 = i(0) = varepsilon50 + Ccdot e^0 Longrightarrow C = -,varepsilon50
Logo
i(t) = varepsilon50l(1 - e^-500 tr)

Passo 5

Para ttoinfty, o termo exponencial se anula e sobra
limttoinftyi(t)=varepsilon50

Resposta

i(t)=varepsilon50l(1 - e^-500,tr), limttoinftyi(t)=varepsilon50

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